RE: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Meu,nao apela!!!!! Isto ja e classico de Lagrange mas...

 Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

Este � um problema cl�ssico de programa��o matem�tica: minimiza��o de
uma fun��o quadr�tica sujeita a uma restri��o linear. O problema tem
solu��o anal�tica pelo m�todo dos multiplicadores de Lagrange. Vamos
considerar uma situa��o mais geral:

Minimizar c_1 x_1^2 +... c_n x_n^2 sujeito a a_1 x1 + a_n x_n = S, onde
todos os c_i e a_i s�o postivos. Como temos apenas uma restri��o, o
Lagrangeano deste problema � dado por Lag(x_1, ...x_n, L) = c_1 x_1^2
+... c_n x_n^2 - L (a_1 x1 + a_n x_n - S). Igualando-se a zero as
derivadas parciais de Lag com rela��o aos x_i, obtemos 2 c_i x_i - L a_i
= 0. Logo, x_i = (L a_i)/(2c_i), i=1...n. Igualando -s a zero a derivada
parcial de Lag com rela��o a L, obtemos a pr�pria restri��o do problema.
Para cada i, temos portanto que a_i x_i = (L a_i^2)/(2c_i). Somando-se
estas n igualdades, obtemos S = (L/2) Soma (i=1,n) (a_i^2)/(c_i) e,
consequentemente, L = 2S/[Soma i=1,n) (a_i^2)/(c_i)]. Com isto, L fica
perfeitamente determinado em fun��o dos x_i e dos c_i. Como x_i = (L
a_i)/(2c_i), i=1,...n, o mesmo ocorre para os x_i. Obtemos assim a
solu��o do problema. Como se trata de um problema quadr�tico, com
coeficientes postivos, n�o h� necessidade de investigar as condi��es de
otimalidade de segunda ordem. A fun��o objetivo � convexa, h� um �nico
m�mo local que, neste caso, � tamb�m global.

No caso inicialmente apresentado, temos a_1 =..a_n =1 e c_1 = ....c_n
=1. Das express�es deduzidas, segue-se que a solu��o �tima � x_1 =
....x_n = S/n.

Artur

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