Re: [obm-l] Muito interressante

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

SIM, É POSSÍVEL...

Ou seja, podemos escrever qualquer número de (1 - 3^n)/2   a   (3^n - 1)/2
com no máximo n "algarismos" (-1, 0 ou 1) na base 3.

Demonstracao:

1) Se vale de 0 a (3^n - 1)/2, vale de (1 - 3^n)/2 a 0:      (conclusao I)

Para verificar isto, basta trocarmos (-1) por (1) e (1) por (-1), mantendo o
(0).

2) Vale para 0 a (3^n - 1)/2?  --> Princípio da Inducao

     2.1) Vale para n = 1 -->  podemos escrever 0 como 0 ("base" 3) e 1 como
1 ("base" 3)

     2.2) Se vale para n, vale para n+1:

   Ora, com n algarismos podemos escrever todos os números entre 0 e (3^n -
1)/2.
Assim, adicionando um algarismo 1 na posicao "n+1" (o que nos dá 3^n na base
10), e sabendo que podemos formar qualquer número de (1 - 3^n)/2  a  0
(vide conclusao I), fica claro que formamos assim qualquer número de:

3^n + (1-3^n)/2  a  3^n, ou seja,  de  (3^n + 1)/2  a  3^n.

Da mesma maneira, podemos adicionar a 3^n os números formados de 0 a
(3^n -1)/2, obtendo todos os números de:

3^n  a  3^n + (3^n - 1)/2, ou seja,   de  3^n  a  (3^(n+1) - 1)/2

Entao, podemos formar todos os números de 0 a (3^n - 1)/2  e de (3^n + 1)/2
a  (3^(n+1) - 1)/2.

Como (3^n - 1)/2 e  (3^n + 1)/2  sao naturais consecutivos, podemos formar
qualquer número de:

  0  a  (3^(n+1) - 1)/2  com (n+1) algarismos, o que conclui a prova por
inducao.

Espero ter ajudado...
[ ]'s

Alexandre Terezan





-----Mensagem Original-----
De: "Jose Jayme Moraes Junior" <jjmoraes@m13.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Segunda-feira, 25 de Fevereiro de 2002 10:34 Terezan
Assunto: RE: [obm-l] Muito interressante



Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81)
utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo,
sim.
Exemplos:
41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1
42 = 81 - 27 - 9 - 3
45 = 81 - 27 - 9
50 = 81 - 27 - 3 - 1
58 = 81 - 27 + 3 + 1
60 = 81 - 27 + 9 - 3
75 = 81 - 9  + 3

É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ....., 3^n


-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Nicolau C.
Saldanha
Sent: domingo, 24 de fevereiro de 2002 09:49
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Muito interressante


On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, Euraul@aol.com wrote:
>        Oi pessoal,
>        uma professora me apresentou um problema interessante criado
> por ela e
> cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma
regra que
> explica essa solução tão curiosa.
>        Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta
pesos
> numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a
quarenta
> quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático
que
> queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou)
as
> partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com
a
> mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes?
>        Solução : 1, 3, 9 e 27.

O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na
base 3 com os "algarismos" -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4
algarismos. Por exemplo:

-5 = 0-++ =    - 9 + 3 + 1
13 = 0+++ =      9 + 3 + 1
20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1

Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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