Re: [obm-l] duvidas (derivadas)

[Carlos Frederico Borges Palmeira <fredpalm@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 15 Feb 2002, Carlos Frederico Borges Palmeira wrote:

> 
> 
> On Fri, 15 Feb 2002, [iso-8859-1] Marcos Aurélio Almeida da Silva wrote:
> 
> > Bom, nas fontes onde estudei eu sempre encontrei uma tal regra de derivação
> > chamada de "Derivada da função inversa" que diz que :
> > 
> >     f(-1)(x)' = 1 / f(x)'
> E' quase isso mas nao e' bem isso. vamos  escrever y=f(x).
>  Seja g a funcao inversa de f. Entao f(g(y))=y e g(f(x))=x. Agora
> suponha que ambas f e g sao derivaveis, entao derivando a 2a igualdade e
> usando a regra da cadeia, vem:
> g'(f(x))f'(x)=1 ou seja, g'(y)=1/f'(x), ou
> f'(x)=1/g'(y). No exemplo abaixo , em que f(x)=raiz(x), temos g(y)=y^2, 
> entao f'(x)=1/2y = 1/2raiz(x), pois e' preciso substituir y por seu valor
> em funcao de x.
> 
> > bom, gostaria de saber se essa regra é verdadeira. Se for, observe esse
> > caso:
> > 
> > calcular a derivada da função f(x)=raiz(x)
> > 
> > bom, f(-1)(x) = x^2 ==> f(-1)(x)' = 2*x ==> f(x)' = 1 / (2*x)
> > 
> > mas a todas pessoas que eu perguntei esse problema foi resolvido assim:
> > 
> > f(x) = x ^(1/2) ==> f(x)' = 1/2 * x ^ (-1/2)
> > 
> > qual é o certo?
> >
> Como se ve, o certo e' a segunda maneira, que usa a formula da derivada de
> x^m, que vale para todo m real, exceto -1.
Comi mosca. A derivada de x^m e' m*x^(m-1), e isso vale para todo m. A
operacao inversa (anti-derivada, ou primitiva, como a gente queira chamar)
e' que tem essa restricao, isto e' a funcao cuja derivada e' x^m e'
(x^(m+1))/(m+1) ,desde que m seja diferente de -1. Se m=-1, temos o
logaritmo de x em base e.



> Fred palmeira
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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