[obm-l] Re:_[obm-l]_ dúvida_trigonometria .

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Oi Bruno. Se a gente supor f continua, acho q uma definicao equivalente, mas
mais
facil de ser lidada, eh:
Def.: f eh convexa no intervalo I se, para todo [a,b] contido em I,
f[(a+b)/2] < [f(a)+f(b)]/2     (coloque o sinal de igual qdo apropriado).

    Que a definicao abaixo implica a de cima eh obvio (faz k=1/2, s=a, t=b),
mas o interessante e que a reciproca tambem eh verdadeira..
    Pra mostrar a concavidade de sen em [0, Pi] p.ex, basta ver entao que:
[f(a)+f(b)]/2 < f[(a+b)/2]  (eh o contrario da def. anterior).
(sena + senb)/2 = sen(a/2)cos(a/2) + sen(b/2)cos(b/2) > sen(a/2)cos(b/2) +
sen(b/2)cos(a/2)
<=>   sen(a/2)[cos(a/2)-cos(b/2)] < sen(b/2)[cos(a/2)-cos(b/2)] <=>
[sen(a/2) - sen(b/2)][cos(a/2)-cos(b/2)]<0
Mas isso eh verdade, pq a/2 e b/2 estao em [0,Pi/2], onde o cos eh
decrescente e o seno crescente.

    Eu digitei a demonstracao de que se f eh continua entao a definicao de
funcao convexa que eu dei la em cima eh equivalente a outra. Me parece
correta. Se alguem quiser, avise que eu mando numa mensagem pra lista.. Nao
escrevi tudo junto nesse email pq ia deixar ele grande.

    Abracos,
    Marcio

PS: Para resolver o problema original dos senos (nao o original propriamente
dito, mas o modificado pelo JP) essa discussao sobre as definicoes eh
irrelevante. Vc pode assumir a definicao simples, e copiar a demonstracao de
Jensen para concluir que f[(a+b+c)/3] > [f(a)+f(b)+f(c)]/3

----- Original Message -----
From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 13, 2002 1:05 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_
dúvida_trigonometria .


> At 19:14 12/02/02 -0300, you wrote:
> >Mas como eh q vc DEFINE concavidade sem Calculo?
>
> Oi David,
>
> A definição de convexidade NAO depede de calculo. definimos que f é
convexa
> em um intervalo I se para todo 0<=k<=1 e s<t em I,
> f(ks+(1-k)t)<=kf(s)+(1-k)f(t).
>
> Isso é, a reta que liga (s,f(s)) a (t,f(t)) passa por cima do grafico de f
> entre s e t.
>
> Mas, se f for diferenciavel, entao f é convexa se e só se df/dx for
> crescente...(aqui entra o calculo, mas nao na definição...)
>
> Bruno Leite
> http://www.ime.usp.br/~brleite
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