Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_ d�vida_trigonometria .

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 19:14 12/02/02 -0300, you wrote:
>Mas como eh q vc DEFINE concavidade sem Calculo?

Oi David,

A defini��o de convexidade NAO depede de calculo. definimos que f � convexa 
em um intervalo I se para todo 0<=k<=1 e s<t em I, 
f(ks+(1-k)t)<=kf(s)+(1-k)f(t).

Isso �, a reta que liga (s,f(s)) a (t,f(t)) passa por cima do grafico de f 
entre s e t.

Mas, se f for diferenciavel, entao f � convexa se e s� se df/dx for 
crescente...(aqui entra o calculo, mas nao na defini��o...)

Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite



>-----Mensagem original-----
>De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Ter�a-feira, 12 de Fevereiro de 2002 08:46
>Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_d�vida_trigonometria.
>
>
> >Excelente.
> >Eu ja tinha constatado que se podia usar a desigualdade das medias para
> >transferir o problema do produto de senos para a soma de senos.
> >Mas dahi por diante, como se demonstra a desigualdade de Jensen e como sabe
> >a concavidade do seno sem usar Calculo Diferencial?
> >Bom, a concavidade do seno pode-se considerar como um "dado grafico"
> >Mas valeu a elegancia da sua demonstracao.
> >JP
> >
> >
> >----- Original Message -----
> >From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Monday, February 11, 2002 10:49 PM
> >Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_d�vida_trigonometria.
> >
> >
> >Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8
> >utilizando as desigualdades das m�dias e de Jensen.
> >
> >S� relembrando as duas desigualdades:
> >
> >A desigualdade das m�dias � a seguinte: dados n
> >n�meros reais n�o negativos, sua m�dia aritm�tica �
> >maior ou igual � m�dia geom�trica, com igualdade se, e
> >somente se, todos os n n�meros s�o iguais.
> >
> >A desigualdade de Jensen � a seguinte: seja f uma
> >fun��o com convexidade para baixo num intervalo.
> >Ent�o, dados n n�meros pertencentes ao intervalo, a
> >m�dia aritm�tica das f's dos n�meros � menor ou igual
> >� f da m�dia aritm�tica dos n�meros.
> >
> >A fun��o seno tem concavidade para baixo no intervalo
> >[0;pi] e � n�o negativa nesse intervalo. Logo:
> >    sen a sen b sen c
> > <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3
> > <= [sen((a+b+c)/3)]^3
> >  = [sen((pi/2)/3)]^3
> >  = 1/8
> >
> >Bom, a solu��o acaba dependendo um pouco de c�lculo
> >para mostrar que a fun��o sen tem concavidade para
> >baixo. Existe uma solu��o totalmente elementar que
> >prova que
> >  sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2
> >para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. S� que n�o lembro
> >direito a identidade.
> >
> >[]'s
> >Shine
> >
> >
> >--- Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br> wrote:
> >> 1) Usando as formulas de transformacao de soma em
> >produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a:
> > 4 sen 2a sen 2b sen 2c,
> >> enquanto o lado direito eh igual a:
> > 4 cos a cos b cos c.  Verifique se confere.
> >> 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a,
> >etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) =
> >sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com
> >a+b+c=pi/2).
> >
> >> Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se
> >puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de
> >Lagrange  mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c)
> >com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8.
> >> JP
> >>
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