Re: D�VIDA DE C�LCULO I

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

A segunda solucao, muito inteligente, ja havia sido dada por alguem na
lista.
Quanto a primeira, lembro que a area eh igual ao valor absoluto do referido
determinante. E como este eh um trinomio, ha que tomar cuidado (faca o
grafico do valor absoluto de um trinomio e verah o que estou dizendo).
JP


----- Original Message -----
From: <bmat@zipmail.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, October 31, 2001 11:31 PM
Subject: Re: D�VIDA DE C�LCULO I


Olha, eu acho que tem duas sa�das, uma que eu chamaria de r�pida e outra
que seria mais "normal" para atacar o problema logo de cara e com certeza
chegar � resposta. Vamos l�, primeiro pela maneira normal:

Ache os pontos de intersec��o da reta com a par�bola resolvendo o sistema
y=x^2 e y=5x+11. H� duas solu��es(como ali�s diz o problema) e chamemos-nas
de (ax;ay) e (bx;by), porque incluem radicais irracionais. Da�, vamos
calcular
a �rea do tri�ngulo APB pelo m�todo do Determinante:
 1/2 *|px-ax  py-ay|
      |bx-ax  by-ay|

Quando voc� expandir, vai achar:
1/2[(px-ax)(by-ay) - (py-ay)(bx-ax)].
Se voc� derivar, lembrando de que py = px^2 e igualar a zero(para achar
o ponto de m�ximo) vai chegar em:
1/2[(by-ay) - 2px(bx-ax)] (pois constantes derivadas d�o zero)

Assim, voc� vai chegar em px = (by-ay)/(2(bx-ax)). Mas como est�o numa
par�bola,
by = bx^2 e ay = ax^2. Da�, px = 1/2(bx + ax)
Mas bx e ax s�o as abscissas dos pontos de intersec��o da reta com a
par�bola
e est�o relacionados por x^2 - 5x - 11 = 0. Com isto, as ra�zes (ax e bx)
tem m�dia igual a 5/2 (rela��es de Girard) e a� temos o ponto que maximiza
a �rea do tri�ngulo: (2,5 6,25).

Mas isso d� muito trabalho e exige que voc� n�o se preocupe com os radicais
que complicam, crendo piamente que n�o v�o ser necess�rios seus valores.

Para a outra solu��o, desenhe mais uma vez a figura do problema e aparece
outra solu��o: Quando voc� pensa no tri�ngulo, desloque a reta 5x+11 para
a direita at� o ponto de tang�ncia com a par�bola. A� voc� garante que a
dist�ncia desse ponto at� a reta � m�xima e, como a �rea de um tri�ngulo
� dada por b*h/2, temos a base fixa(o segmento AB) e a altura m�xima no
ponto de tang�ncia. Da� ent�o voc� sabe que nesse ponto a tangente tem
coeficiente
angular 5(igual ao da reta) e tamb�m igual a 2x (que � a derivada de x^2).
Igualando, chegamos em x=2,5. A mesma coisa. Mas voc� faz muito menos
contas.


At� a pr�xima e corrijam qualquer erro, por favor.
Bernardo

-- Mensagem original --

>Ola a todos,
>
>Apareceu um problema na aula de c�lculo I que eu nao conssigo   > fazer
de nenhum jeito tentei de tudo, com certeza algo de      > errado eu fiz,
por favor da uma m�o.
>
>A reta y=5x+11 intercepta a par�bola y=x^2 nos pontos A e B.    > Encontre
o ponto P sobre o arco OAB da par�bola que maximize a > �rea do triangulo
PAB. (O � a origem do plano cartesiano por   > onde x^2 passa)
>
>Fernando Romagnoli




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