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Re: Quest�o 4 OBM-2001 Nivel 3
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Ol� amigos da lista!
Realmente, a quest�o 4 da prova do n�vel 3 (que tamb�m caiu no n�vel 2) n�o
dizia que valia apenas o caso (10a+b)(10c+d) = (10b+a)(10d+c) para um
conjunto A = {a,b,c,d} ser intercambi�vel (para simplificar, vou assumir
como sendo esse o caso AB x CD = BA x DC). Quando escrevi a solu��o na hora
da prova, mostrando as 5 solu��es, olhei pro papel e pensei "feito, mais
uma, beleza!". Mas a� veio aquela id�ia que voc�s tamb�m tiveram (diga-se de
passagem, bastante pertinente): "xiii... mas h� outras hip�teses que eu n�o
mostrei! Vou perder muitos pontos! Ah n�o, vou ter que escrever cada
hip�tese e verificar que s�o absurdas..."
Ent�o, mostrei que, sem perda de generalidade, igualando {AB x CD} aos
produtos {BC x AD}, {BC x DA}, {BD x AC} e {BD x CA}, em todos eles h� um
absurdo que inviabiliza solu��es, havendo apenas solu��es para o caso
apresentado no enunciado, AB x CD = BA x DC.
Demorei v�rios minutos provando esses casos, e creio que muita gente deve
ter desistido da quest�o por ter justamente imaginado que haveria outros
casos a analisar. Na hora que me dei conta das outras possibilidades, achei
que n�o haveria tempo pra faz�-las todas.
N�o sei se seria correto anular a quest�o, como acha o colega Jorge Peixoto,
at� porque alguns estudantes conseguiram verificar todos os casos. A minha
opini�o � que, se o problema foi feito dessa forma, na solu��o da banca
deveria constar uma an�lise mais completa.
Espero eventuais cr�ticas ou opini�es. No mais, boa sorte a todos!
Um abra�o a todos os amigos,
Lucas
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>A quest�o � amb�gua sem d�vida.
>
>No dia da prova, eu tive que resolver as 11 possibilidades de equa��es para
>verificar se havia outras solu��es al�m das citadas pelo gabarito oficial.
>Mas, o mais estranho, � que apenas a equa��o (10x + y)(10a + b) = (10y +
>x)(10b + a) tem solu��o. Ou seja, apenas o caso particular citado pela
>corre��o
>serve, mas, na prova, tive que me preocupar em justificar tudo que
escrevia,
>e, claro, porque apenas aquelas solu��es ocorrem. � claro que isso me fez
>perder muito tempo de prova.
>-- Mensagem original --
>
>>Quest�o 4 OBM-2001 Nivel 3 est� amb�gua??
>>
>>Concordo plenamente... Eu e mais tr�s alunos do meu col�gio leram e
fizeram
>>a quest�o como se pudesse escolher , por exemplo: dentre os 4 n�meros x,
>>y,
>>z e w uma das possibilidades da quadr�pla ser intercambi�vel era
>>(10x+y)(10z+w)=(10x+w)(10y+z) o que tornaria a solu��o do problema
original
>>apenas um caso particular... Tornando o problema bem mais dif�cil!! Al�m
>>disso ao falar com outros alunos de outros col�gios vi que ocorreram casos
>>iguais a esses... E ocorreu at� em outros lugares no caso do Henrique
>>Noguchi... Creio que o enunciado do problema 4 do n�vel 3 esteja amb�guo!!
>>E
>>al�m disso nenhum desses alunos que o interpretaram de maneira diferente
>>conseguiu terminar a solu��o desse caso "generalizado" em tempo de prova
>>(pelo menos aqui em Fortaleza)!! Acho que antes de dar algum parecer sobre
>>esse caso deve-se discutir muito para que nenhum aluno seja prejudicado!!
>>
>>Obrigado pela aten��o!!
>>EINSTEIN
>>
>>-----Mensagem original-----
>>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
>>nome de Nicolau C. Saldanha
>>Enviada em: quarta-feira, 5 de setembro de 2001 09:01
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Assunto: Re: Quest�o 5 OBM-2001 Nivel 2
>>
>>
>>On Tue, Sep 04, 2001 at 09:16:13PM -0300, Vanda Noguchi wrote:
>>> Na quest�o 5 da �ltima OBM (2001), a solu��o do gabarito da OBM assume
>>que
>>> os n�meros s�o formados pelos mesmos digitos trocando de posi��o, tal
>como
>>> (21 e 12) ou (36 e 63) ou seja, (10x + y)(10t + z) = (10y + x)(10z +
>t).
>>> O exemplo dado na quest�o est� desta forma, mas nada no enunciado leva
>>a
>>> concluir isto. A equa��o acima n�o abrange os n�meros (10x+t), (10x+z),
>>> (10z+y), etc..Portanto, a solu��o do gabarito � uma particularidade do
>>> enunciado. Algu�m consegue explicar se minha conclus�o � correta?
>>
>>Esta situa��o est� sendo discutida pela comiss�o de olimp�adas
>>e teremos uma posi��o oficial em breve, provavelmente hoje ou amanh�. []s,
>>N.
>>>
>>> A quest�o � a seguinte:
>>> "Dizemos que um conjunto A formado por 4 algarismos distintos e n�o
nulos
>>�
>>> intercambi�vel se podemos formar dois pares de n�meros, cada um com 2
>>> algarismos de A, de modo que o produto dos n�meros de cada par seja o
>>mesmo
>>> e que, em cada par, todos os d�gitos de A sejam utilizados.
>>>
>>> Por exemplo, o conjunto {1;2;3;6} � intercambi�vel pois 21 � 36 = 12
>�
>>63.
>>>
>>> Determine todos os conjuntos intercambi�veis."
>>>
>>>
>>> Henrique Noguchi
>>>
>>>
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Muita luz e amor para voc�!
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