resolução do problema do Siddharta

["Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Veja que o problema tem solução.
O fato é óbvio para x = n = y.
Porém, supondo x =/ n =/ y
temos que:
vamos resolver com um caso mais simples, ou seja: x^n = n^x
vamos supor que x e n pertença ao conjuntos dos número inteiros positivos,
já que aos inteiros não tenho capacidade de resolvê-lo.

x^n = n^x

Observe um lema:

Para todo x > n >= 3 , ocorre que x^n<n^x
Prova:

Verifique que podemos utilizar o logarítmo neperiano, para provar tal caso:

n * ln x  < x * ln n    => n/ln n < x/ln x, já que a função f(x) = x/ln x é
crescente apartir de e.
Observe que usei o mesmo lema na solução do problema 3, se não estou
enganado, das olimpíadas internacional de matemática.

lema: Para todo x < n > = 3, ocorre x^n > n^x, para todo x > 0  e x =/1

Prova:
Para o mesmo caso, observe que n/ln n > x/ ln x

Observe que analisamos x entre os intervalos (3, infinito) e (1, 3) para
todo n >= 3

Pelo mesmo lema vamos supor 0 <= n < 3 sendo x>n, então: x^n > n^x
Prova:

n/ln n > x/ln x

Pelo mesmo lema vamos supor 0<= n < 3 sendo x < n, então: x^n < n^x, para
todo x=/1
Prova:
n/ln n < x/ln x


Vamos analisar agora x sendo e sendo 1.

1^n < = n^1    => 1 < = n      ou n >=1.         para todos e qualquer n,
inteiro positivo
Prova:

De fato o caso é real já que 1 é o menos número dentre os inteiros
positivos.

Conclusão:

Vemos através de provas por logarítmo que é impossível a igualdade desta
equação, exceto quando assumem valores indênticos. Observe que provei para
os inteiros positivos. Mas, esta equação tem solução quando x e n são
racionais.