Re: Problemas Legais

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Flavio Borges Botelho escreveu:
> 
> "Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @" wrote:
> 
> > O problema est� em ingl�s, espero que n�o ligue. Mas, prefiro digit�-lo em
> > ingl�s, j� que pode ter interpreta��es diferentes em rela��o ao idioma.
> >
> > 1) Suppose that on Planet Zorg a year has n days, and that the lifeforms
> > there are equally likely to have hatched on any day of the year. We would
> > like to estimative d, which is the minimum number of lifeforms needed so
> > that the probability of at least two sharing a birthday exceeds 1/2.
> 
>     Probabilidade de nascer 2 ou mais no primeiro dia = (1/N) * (1/N) * d *
> (d-1)
>    d(d-1)/N^2
> 
> Queremos que isso seja maior que 1/2:
> 
>    d(d-1)/N^2 > 1/2
>    2d(d-1) > N^2
> 
> Tem algum jeito de simplificar isso, ou eu fiz alguma coisa errada?
> 
>  A prop�sito, eu achei um estudo de dois matem�ticos demonstrando que se
> voc� jogar dois jogos em que voc� perderia dinheiro se jogasse qualquer um dos
> 
> dois, conjuntamente voc� acaba ganhando dinheiro... Parece que � baseado no
> Paradoxo de Parrondo, algu�m sabe como que esse paradoxo funciona ? Procurei
> na web e mas n�o achei nada mais detalhado sobre ele.
> 
> http://www.ams.org/new-in-math/01-2000-media.html#parrondo
> 
> > 2) Na progress�o aritm�tica Sp = q ; Sq = p ( Sn � a soma dos n primeiros
> > termos da progress�o).
> > Ache Sp+q.             *obs: n � o �ndice.
> 
>    Tem alguma solu��o que n�o seja p=q=1? ou talvez seja Sq = p^2 ou alguma
> coisa assim? Ou uma progress�o geom�trica?
> 
> Sn = n(n+1)/2
> => p(p+1)/2 = q
> => q(q+1)/2 = p
> =>[q(q+1)/2] * {[q(q+1)/2] + 1}/2 = q
> (q^2 + q) * (q^2 + q + 2) / 8 = q
> (q^4 + q^3 + 2q^2 + q^3 + q^2 + 2q) / 8 = q
> (q^4 + 2q^3 + 3q^2) = 6q
> q^3 + 2q^2 + 3q - 6 = 0
> (q^2 + 3)(q - 2) + 4q^2 = 0
> 
> logo q < 2 para que seja poss�vel, tem alguma coisa errada no enunciado do
> problema? ou eu entendi alguma coisa errada?
> 
> Abra�os,
> 
> Fl�vio
1) A probabilidade de que em um grupo de d viventes todos tenham
anivers�rios diferentes � [n/n].[(n-1)/n].[(n-2)/n]..., o produto tendo
d fatores.Para que a probabilidade de, em um grupo de d viventes, pelo
menos dois compartilharem o mesmo anivers�rio seja maior que 1/2, o
produto acima deve ser menor que 1/2.
Se n=365 (Zorg=Terra sem anos bissextos), com uma calculadora e
paci�ncia encontra-se que o primeiro valor que satisfaz � n=23.
Este e outros problemas do tipo encontram-se no livro de horr�vel capa
vermelha e preta, An�lise Combinat�ria e Probabilidade, editado pela
Sociedade Brasileira de Matem�tica, na Cole��o do Professor de
Matem�tica.
2)Vamos chamar o primeiro termo de A, o p-�simo de P e o q-�simo de Q.
Temos (A+P)p/2=q   e     (A+Q)q/2=p
[A+P]-[A+Q]=2q/p - 2p/q
P-Q =(2q*q-2p*p)/pq
A+(p-1)r-[A+(q-1)r]=(2q*q-2p*p)/pq
(p-q)r = 2(q-p)(q+p)/pq
Supondo p e q diferentes (isso devia estar no enunciado: o caso p igual
a q n�o tem gra�a), r = -2(q+p)/pq.
O termo de ordem p+q vale A+(p+q-1)r e a soma dos p+q primeiros termos
vale [A+A+(p+q-1)r].(p+q)/2 

Mas, [A+P]+[A+Q]=2q/p + 2p/q
2A+(p-1)r+[2A+(q-1)r]=(2q*q+2p*p)/pq
4A+(p+q-2)r=(2q*q+2p*p)/pq
2A=[(q*q+p*p)/pq]-(p+q-2)*r/2
2A+(p+q-1)r =[(q*q+p*p)/pq]+(p+q)*r/2 = -2
A resposta � -(p+q).