Teorema 1.1 (Princípio de Dirichlet). i [dirichlet] Seja f: A\to B uma aplicação entre dois conjuntos finitos.
Se |A|=|B| (as ordens dos conjuntos são iguais), então a função f é injetora \iff sobrejetora \iff bijetora
|A|\geq|B| se f é sobrejetora
|A|\leq|B| se f é injetora
Se |A|\geq|B| e f é injetora, ela é bijetora
Se |A|\leq|B| e f é sobreetora, ela é bijetora
Essa propriedade pode ser usada para definir conjuntos infinitos como os conjuntos S que tem um endomorfismo f: S\to S injetora, mas não sobrejetora.
Definição 2.1. Uma estrutura de um magma no conjunto Ma é dada por uma operação binária (total) o : Ma \times Ma \to Ma sem axiomas nenhuns (só totalidade). Isso é por cada dois elementos x,y \in Ma do conjunto Ma é definido um valor o(x,y)\in Ma. Podemos escrever a operação usando outra notação como x*y ou (x*y) em vez de o(x,y).
Definição 2.1. Um morfismo entre dois magmas (Ma_1,o_1) e (M_1,o_2) é uma função f : Ma_1 \to Ma_2 (morfismo de conjuntos) tal que o_2 \circ (f\times f) = f \circ o_1, i.e. \forall x,y\in Ma_1 : o_2(fx, fy) = f(o_1(x,y)).
Um magma é uma estrutura algébrica muito básica.
Exemplo 2.1. Seja Ar um conjunto de todas as árvores binárias. Dado duas árvores binarias A_1, A_2 podemos construir uma nova árvore A_1 * A_2 com raiz r, subárvore esquerda A_1 e subárvore direita A_2.
Exemplo 2.1. Uma palavra no alfabeto de dois símbolos \{e,d\} é bem formada se o número de símbolos e na palavra é igual ao número de símbolos d, e por cada segmento inicial número de símbolos e não é menor de que número de símbolos d. Por exemplo, palavras ed, eded, eedd, eededd são bem formadas, mas palavras d, ede, eddeed não. Palavra vazia também pode ser considerada bem formada. Dados duas palavras bem formadas P e Q vamos definis P*Q como ePQd (símbolo e, depois palavra P, depois palavra Q, depois símbolo d).
Definição 2.1. O submagma gerada por um subconjunto G \subset Ma é o subconjunto de Ma que contem G, fechado com respeito da operação e minimal entre todas estes subconjuntos.
Exercício 2.1. Verifique que a definição acima é bem, i.e. que subconjunto minimal existe. Por exemplo, mostre que a interseção dos submagmas que contem G é um submagma que contem G. Alternativamente, defina G(0) := G, e G(n+1) := G(n) \bigcup \{o(x,y) : x,y\in G(n)\}, G_\infty = \bigcup_{n\geq 0} G(n), e verifique que G_\infty é um submagma de Ma, que ele contem G, e que qualquer submagma de Ma que contem G deve conter G_\infty (usando indução em n).
Definição 2.1. Seja S um conjunto. Suponha que U é um magma munído com uma função i: S\to U (morfismo de conjuntos) tal que por qualquer magma Ma munido com morfismo de conjuntos j: S\to Ma existe o único morfismo de magmas f: U \to Ma tal que f\circ i = j. Neste caso um par U, i: S\to U é chamado magma livre gerada por S. As imagens i(s) dos elementos s\in S são chamados geradores.
Exercício 2.1. Provar que os magmas de arvores binárias e das palavras bem formadas são isomorfos um doutro e são isomorfos ao magma livre de um gerador.
Exercício 2.1. Seja f: (Ma_1,o_1) \to (Ma_2,o_2) é um morfismo de magmas tal que ele é bijetivo (como morfismo de conjuntos). Verificar que f^{-1} respeita operações i.e. induz um morfismo inverso dos magmas.
Definição 2.1. Uma ação (de esquerda) G:C dum grupo G no conjunto C é um morfismo de conjuntos a: G\times C \to C tal que para todos g,h\in G e c\in C temos a(gh, c) = a(g,a(h,c)) e a(e_G,c) = c.
Proposição 2.1. Equivalente, uma ação G:C é um morfismo de grupos \alpha: G\to \mathop{\mathrm{Aut}}_{Conjuntos} C Isso é, por cada g\in G associamos um automorfismo \alpha_g de C em tal modo que por todos g,h\in G temos \alpha_{gh} = \alpha_g \circ \alpha_h e \alpha_{e_G} = Id_C.
Proof. \alpha(g)(c) = a(g,c) 1 ◻
Em seguinte se a ação é claro de contexto podemos escrever g\cdot c ou simplesmente gc em vez de \alpha_g c ou a(g,c).
Definição 2.1. Por um grupo fixo G um G-conjunto é um conjunto C munido com G-ação G:C. Um morfismo de G-conjuntos G:C e G:D é um morfismo de conjuntos f: C\to D tal que por todos c\in C, g\in G temos f(gc) = g f(c). Morfismo é um isomorfismo se ele tem o inverso. Dois G-conjuntos são isomorfos se existe um isomorfismo entre eles.
Exemplo 2.1 (Ação regular). Um grupo G age na si mesmo de multiplicação esquerda: a_L(g,h) = g\cdot h L_g (h) = g\cdot h Aqui g\cdot h significa produto no grupo.
Proof. As axiomas de ação aplicando neste caso ficam exatamente as axiomas de associatividade e elemento neutro de grupo G. ◻
Teorema 2.1 (Cayley). Cada grupo é isomorfo ao subgrupo do grupo das permutações.
Proof. Ação regular considerado como um morfismo de grupos L : G \to \mathop{\mathrm{Aut}}_{Conjuntos} (G) é injetivo: se por qualquer g\in G temos L_g = Id_G então g = g\cdot e = L_g (e) = Id_G(e) = e. ◻
Exemplo 2.1. Podemos definir uma ação (esquerda) regular usando multiplicação de direita: R_g (h) := h \cdot g^{-1}
Exercício 2.1. Ações L e R são isomorfos.
Proof. Aplicação dos conjuntos g\to g^{-1} é um isomorfismo de ações. ◻
Exemplo 2.1. Ação adjunta (ou ação de conjugação) G:G é definida por Ad_g (h) := g h g^{-1} É uma restrição de ação bidirecional G\times G: G (l,r)\cdot h := l h r^{-1} para a diagonal (g,g) \in G\times G.
Proposição 2.1. Ação adjunta é uma ação no grupo, que significa Ad_g (h_1 \cdot h_2) = Ad_g (h_1) \cdot Ad_g(h_2) e Ad_g(h^{-1}) = {(Ad_g(h))}^{-1}, Ad_g e_G = e_G. Em particular imagem Ad_g (H) dum subgrupo H\subset G é um subgrupo.
Proposição 2.1. Por ação G:C uma relação no C definido por c \sim d \iff \exists\,g\in G\, | gc = d é uma relação de equivalência.
Definição 2.1. As classes de equivalência com respeito de relação de são chamados as órbitas. Por um elemento c\in C a órbita dele é um conjunto G c := G\cdot c := \{g\cdot c\,|\,g\in G\} = \{d\in C\,|\,\exists g\in G\, d=gc\}
Exemplo 2.1. Se H\subset G é um subgrupo podemos restringir ação regular direito G:G para H:G. O quociente é isomorfo ao conjunto-quociente das classes laterais de direita G/H = \{gH\}. Ele ainda tem uma estrutura de G-conjunto com respeito de multiplicação de esquerda h\cdot (gH) = (hg) H
Definição 2.1. Quociente (G\backslash C ou C/G) dum G-conjunto C com respeito de ação é um conjunto das órbitas. Normalmente C/G é usado para ações direitas e G\backslash C para ações esquerdas.
Definição 2.1. A ação G:X é chamada transitiva se \forall x,y\in X \exists g\in G : gx = y i.e. ela tem só uma órbita. As vezes adicionalmente pedirmos que X não é vazio.
Definição 2.1. O núcleo da ação G:X é o núcleo do morfismo G\to \mathop{\mathrm{Aut}}X, i.e. \{g\in G : \forall x\in X, gx = x\}. A ação é chamada efetiva se ela não tem núcleo, i.e. \forall g\neq e\in G \exists x\in X : gx \neq x.
Exercício 2.1. Provar que por qualquer duas ações efetivas e transitivas existe um isomorfismo entre os respetivos G-conjuntos.
Proposição 2.1. Um G-conjunto C é união disjunto das órbitas: C = \bigcup_i O_i Se um conjunto C é finito cardinalidade dele é soma das cardinalidades das órbitas |C| = \sum_i |O_i|
Definição 2.1. Para ação G:C o estabilizador dum elemento c\in C é definido como G_c := Stab(c) := \{g\in G\,|\, gc=c\}
Proposição 2.1 (Teorema sobre as órbitas e os estabilizadores). Cada estabilizador G_c é um subgrupo de G, e cada órbita G\cdot c é um G-subconjunto isomorfo como G-conjunto ao quociente G/G_c.
Definição 2.1 (cf. exercício 10.3.12 no AATA). O centralizador Z(g) de um elemento g no grupo G é um subconjunto de todos elementos de G que comutam com g: Z(g) := \{h\in G | gh = hg \}
Proposição 2.1. Centralizador Z(g) de cada elemento g\in G é um subgrupo de G. Este subgrupo contem g.
Definição 2.1. O centralizador Z(S) de um subconjunto S\subset G é o conjunto dos elementos do G que comutam com cada elemento de S.
Proposição 2.1. O centralizador Z(S) é interseção dos centralizadores de todos elementos g\in S: Z(S) = \bigcap_{g\in S} Z(g) Então para qualquer subconjunto S o centralizador dele é um subgrupo de G.
Definição 2.1 (cf. exercício 10.3.13 no AATA). O centro de um grupo G é o conjunto dos todos elementos de G que comutam com cada elemento de G: Z(G) = \{g\in G\, |\, \forall{h\in G}\, gh = hg \}
Proposição 2.1. O centro Z(G) de um grupo G é um subgrupo normal e abeliano. Também Z(G) = \{g\in G\,|\,Z(g)=G\} E por cada g\in G o centro Z(G) é um subgrupo do centralizador Z(g): Z(G) \subset Z(g) \subset G
Exercício 2.1. Computar o centro de grupo simétrico.
Exercício 2.1. Computar o centro de grupo de Heisenberg.
Definição 2.1. Um inteiro positivo d é chamado um divisor de Hall de inteiro n se d e n/d são inteiros coprimos.
Seja DP(n) = \{p_1,\dots,p_k\} um conjunto de divisores primos de n. Então n tem 2^k divisores de Hall, que são em bijeção com os subconjuntos π \subset DP(n): π(d) = \{ p t.q. p|d \} e d(π) = \prod_{p \in π} p^{v_p(n)}, onde v_p(n) é a valoração p-ádica de n, i.e. n = \prod_p p^{v_p(n)}.
Definição 2.1. Seja H \subset G um subgrupo do grupo finito. Ele é chamado subgrupo de Hall se |H| é um divisor de Hall de |G| (i.e. seu ordem e indice são coprimos). Por π\subset DP(|G|), subgrupo H é chamado um π-subgrupo de Hall se |H| = d(π). Se π=\{p\} é um conjunto de um número primo um subgrupo de \{p\}-Hall é chamado um p-grupo de Sylow, i.e. |H| = p^l e primo p não divide o incide [G:H] = |G|/|H|.
Então, seja G um grupo de ordem p^k\cdot m e \mathop{\mathrm{mdc}}(m,p)=1. O subgrupo H\subset G é p-Sylow se e só se |H|=p^k, pela definição.
Lembramos
Teorema 2.1 (Teorema de Lagrange). Se H \subset G é um subgrupo de um grupo finito, a ordem |G| é o produto de ordem de |H| e do indice [G:H] = |G/H| (a cardinalidade do conjnunto quociente): |G| = |H| \cdot |G/H| Em particular, a ordem do qualquer subgrupo é um divisor da ordem do grupo.
O primeiro teorema de Sylow (e o teorema de Hall) pode ser considerada como um converso do teorema de Lagrange para divisores de Hall de tipo p^k.
Teorema 2.1 (Primeiro teorema de Sylow). Por cada divisor primo p de |G| grupos de p-Sylow existem.
Proof. Uma guia de uma demonstração:
Seja \binom{G}{p^k} o conjunto de subconjuntos de ordem p^k no G. Mostre que a sua ordem \binom{p^k \cdot m}{p^k} não é divisível por p.
Usando a ação regular G:G muna o conjunto \binom{G}{p^k} com uma G-ação.
Moste que existe uma órbita da ação G: \binom{G}{p^k} qual tamanho não é divisível por p.
Por qualquer elemento G\supset S \in \binom{G}{p^k} desta órbita considere o grupo estabilizador: g\in G t.q. g S = S Mostre que o ordem deste grupo é divisível por p^k.
Mostre que por qualquer S \subset G a ordem de estabilizador de S não é maior de que a ordem de S. Se |S|=p^k, a ordem do estabilizador de S não é maior de que p^k.
Conclua a existência do grupo de p-Sylow.
◻
Corolário 2.1 (Teorema de Cauchy). Se p é um divisor primo da cardinalidade de um grupo G, existe um elemento g\in G de ordem p.
Proof. Considere qualquer elemento g \in S_p(G) que não é identidade. A ordem de g é igual ao p^l por algum 1\leq l \leq k. Então a ordem de g^{p^{l-1}} é igual ao p. ◻
Teorema 2.1 (Segundo teorema de Sylow). Sejam H_1,H_2 dois subgrupos de p-Sylow de G. Provar que H_1 é conjugado de H_2.
Proof. Dica: Achar um ponto fixo da ação esquerda do H_1 no quociente direito G/H_2. ◻
Teorema 2.1 (Terceiro teorema de Sylow). Provar que o número dos subgrupos de p-Sylow é congruente a 1 módulo p.
Proof. Dica: considere a ação adjunta de H_1 no conjunto de subgrupos de p-Sylow. Se H_2 é um ponto fixo diferente de H_1, considere o normalizador N_G(H_2) := \{g\in G\, | \, gH_2g^{-1} = H. ◻
Os teoremas nessa subseção não vamos provar neste curso.
Teorema 2.1 (Hall, 1928). Se um grupo G é um grupo finito e solvível, por cada π \subset DP(|G|) existe um π-subgrupo de Hall, e cada dois π-subgrupos de Hall são conjugados um doutro. Cada subgrupo K \subset G de ordem e é um subgrupo de um π-subgrupo de Hall onde π é um conjunto de divisores primos de |K|.
Teorema 2.1 (Conversa do teorema de Hall). Se um grupo finito G tem um π-subgrupo de Hall por cada π \subset DP(|G|), ele é solvível.
Definição 2.1. Um sistema de Sylow e a coleção de subgrupos de p-Sylow, um subgrupo S_p por cada divisor primo p de |G|, tais que por cada p e q: S_p S_q = S_q S_p.
Outro jeito de formular o teorema de Hall (e sua conversa) é dizer que o sistema de Sylow no grupo G existe se e somente se o grupo G é solvível. Dado um sistema de Sylow, para construir um π-subgrupo de Hall basta considerar o subgrupo gerado por S_p para todos p\in π.
Teorema 2.1 (Schur-Zassenhaus). Cada subgrupo de Hall normal H no grupo finito G tem um complemento (). Se H ou G/H é solvível, todos os complementos de H\subset G são conjugados um doutro.
Teorema 2.1 (Feit-Thompson, 1963).
[ft1] Cada grupo de ordem impar e não primo tem um subgrupo normal próprio.
[ft2] Cada grupo de ordem impar é solvível.
[ft3] Cada grupo simples tem ordem primo ou par. (foi a conjectura de Burnside, 1911)
Parte [ft1] é realmente complicado. Implicação [ft1] para [ft3] é direta. Use indução para provar [ft2] de [ft1].
de Feit-Thompson implica que no H ou G/H é solvível automaticamente.
Exercício 2.1. Provar que não existe um grupo simples de ordem 30, 36, 56, 72 ou 80 sem usar o teorema de Burnside.
Dica: use teoremas de Sylow .
Teorema 2.1 (Burnside, 1904). Se p,q são números primos e a,b\geq 0 são inteiros qualquer grupo de ordem p^a q^b é primo se e somente se a+b=1. Cf.https://en.wikipedia.org/wiki/Burnside's_theorem
Denotemos por \mathbf{Z} o anel dos inteiros e por \mathbf{Z}[x] o anel dos polinômios de variável x com coeficientes inteiros.
Teorema 3.1 (Binômio de Newton). No anel \mathbf{Z}[x] para cada número natural n=0,1,2,\dots temos a identidade (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k = 1 + n x + \frac{n(n-1)}2 x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}6 x^3 + \dots Os números \binom{n}{k} são inteiros e são chamados de coeficientes binomiais. Definamos um fatorial r! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\dots\cdot(r-1)\cdot r, então \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}
Proposição 3.1. Para cada anel com unidade (não necessariamente comutativo) A existe um único homomorfismo dos anéis \cdot_A: \mathbf{Z}\to A, imagem dum inteiro z será denotado z_A. 2
Proof. Observe que para qualquer morfismo m:\mathbf{Z}\to A temos m(0_\mathbf{Z}) =0_A e m(1_\mathbf{Z}) = 1_A. Então m(-1) = -m(1) = -1_A, para qualquer número natural n a imagem m(n) é igual a soma de n cópias de 1_A, … Isso serve como prova de unicidade e também como construção dum morfismo. ◻
Definição 3.1. Característica de anel A é o gerador não negativo do núcleo de morfismo \mathbf{Z}\to A. Em outras palavras, característica dum anel é o mínimo dos números naturais n tais que n_A = 0_A, ou 0 se estes números não existem.
Proposição 3.1. Para cada dois elementos x,y dum anel comutativo A e cada número natural n temos a identidade (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}
Teorema 3.1. Se A é um anel cuja característica é um número primo p>0 aplicação F(x) := x^p é um endomorfismo de anel A e se chama endomorfismo de Frobenius.
Proof. Para quaisquer dois elementos x,y no anel comutativo A temos (xy)^n = x^n \cdot y^n por cada natural n. Então F(x\cdot y) = F(x)\cdot F(y). implica que F(x+y) = (x+y)^p = x^p + y^p + \sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k} x^k y^{p-k}. Observemos que denominador de fração \frac{p!}{k!(p-k)!} é coprimo com p por p primo (cada fator é menor do que p então coprimo com ele). Isso implica que o coeficiente binomial \binom{p}{k} é divisível de p, então imagem dele no anel A igual 0_A. ◻
Definição 3.1. Um elemento a\in A é divisor dum elemento b\in A se existe um elemento c\neq0\in A tal que b=a\cdot c. Um elemento se chama inversível se ele é um divisor de 1\in A.
Definição 3.1. Um anel é um domínio se o único divisor de 0 é si mesmo.
Definição 3.1. Um anel é um corpo se 0 é o único elemento não inversível.
Teorema 3.1. Cada domínio finito A é um corpo.
Proof. Se para x\neq0 temos x\cdot y = x \cdot z por distributividade x\cdot(x-z)=0 e por pressuposição x-z=0 (i.e. x=z). Então por cada x\neq0\in A o endomorfismo y\to x\cdot y de conjunto A é injetivo. Para conjuntos finitos endomorfismos injetivos são sobrejetivos (), então 1_A pertence a imagem i.e. para cada x\neq0 existe y tal que x\cdot y = 1. ◻
Então dado um número primo p, resíduos \mathbf{F}_p := \mathbf{Z}/(p) é um corpo.
Teorema 3.1. Cada subgrupo finito dum grupo multiplicativo dum corpo é cíclico.
Suponha um número primo p é ímpar p=2l-1. Então o grupo multiplicativo \mathbf{F}_p^* é um grupo cíclico de ordem p-1=2(l-1) par. Autoaplicação q(z) := z^2 de conjunto \mathbf{F}_p^* não é injetiva: q(z) = q(-z) e.g. q(1) = q(-1) (e 1=-1\iff p=2). Então por q não é sobrejetivo, existe não-resíduo \nu\in\mathbf{F}_p^*, um elemento tal que o polinômio x^2-\nu é irredutível no \mathbf{F}_p[x]. Irredutibilidade do polinômio x^2-\nu implica que o anel quociente K := \mathbf{F}_p[x]/(x^2-\nu) é um domínio. Isso e implicam que éum corpo. 3
Morfismo \mathbf{F}_p \to \mathbf{F}_p[x] \to \mathbf{F}_p[x]/(x^2-\nu) =: K mune K com estrutura dum espaço vetorial sobre corpo \mathbf{F}_p com base 1,x. Então a ordem de K é igual p^2 = (2l-1)^2 = 4l^2-4l+1 = 8\binom{l}2 + 1. implica que o grupo multiplicativo K^* é gerado pelo elemento z de ordem 8 \binom{l}{2}. Então \zeta := z^{\binom{l}2} é um elemento de ordem 8, i.e. \zeta^8 = 1 e \zeta^4\neq 1. No domínio K a igualdade 0 = z^8-1 = (z^4-1) \cdot (z^4+1) e a desigualdade 0 \neq z^4-1 implicam que z^4+1 = 0, em particular z é inversível com inverso -z^3.
Consideremos a = z+z^p
Temos F(z) = z^p e F(z^p) = z^{p^2} = (z^8)^{\binom{l}2}\cdot z = z, então usando temos a^p = F(a) = F(z+z^p) = F(z) + F(z^p) = z^p + z = a. Por isso a é uma raiz do polinômio y^p-y de grau p no domínio K. Mas já temos p raízes dentro do subcorpo \mathbf{F}_p. Então a\in K está dento de \mathbf{F}_p.
Finalmente vamos computar a^2.
a^2 = (z+z^p)^2 = z^2 + z^{2p} + 2 z^{p+1}
Se p=8k+3 temos a^2 = (z^2 + z^6) + 2 \cdot z^4 = 0 + 2 \cdot (-1) = -2.
Se p=8k+7 temos a^2 = (z^2 + z^{14}) + 2 \cdot z^8 = 0 + 2 \cdot 1 = 2.
Os módulos sobre os anéis são os analogos das ações/representações de grupos, mas no mundo dos anéis. Essa estrutura algébrica generaliza ao mesmo tempo
grupos abelianos,
espaçõs vetoriais sobre um corpo,
espaçõs vetoriais munidos com um endomorfismo,
ideais no anel.
Em particular neste curso a gente vai classificar os módulos finitamente gerados sobre os anéis euclideanos (e mais geralmente sobre os anéis dos ideais principais), obtendo a classificação dos grupos abelianos finitamente gerados e a forma canônica de Jordan duma transformação linear como os corolários.
Observação 4.1. Para anéis não comutativos existem dois tipos de módulos: módulos esquerdos (categoria A-Mod) e módulos direitos (categoria Mod-A), em jeito similar aos dois tipos de ações de um grupo não abeliano. Similarmente com o caso dos ações de grupos abelianos, dois tipos de módulos coincidem um doutro sobre os anéis comutativos.
Definição 4.1 (Módulos). Seja A um anel comutativo. Um A-módulo (ou módulo sobre A) é um grupo abeliano M munido com um morfismo (de ação de A no M) μ : A \times M \to M i.e por cada a\in A, m\in M imagem μ(a,m) é denotado a\cdot m (ou am), tal que por cada a\in A aplicação μ_a : M \to M dado por μ_a (m) = a\cdot m é um morfismo de grupos abelianos e por quaisquer a,b \in A temos μ_{ab} = μ_a \circ μ_b, i.e. por todos m\in M temos a\cdot(b\cdot m) = (a\cdot b)\cdot m, ou equivalentemente μ(a,μ(b,m)) = μ(p(a,b),m) onde p: A\times A \to A é a operação do produto no anel A.
Exemplo 4.1. Se o anel é um corpo, os seus módulos são espaços vetorias sobre ele.
Exemplo 4.1. Cada anel pode ser considerado como um módulo sobre si mesmo.
Definição 4.1 (Morfismo de A-módulos). Sejam A um anel e M,N dois A-módulos. Um morfismo de A-módulos é um morfismo de grupos abelianos f: M\to N tal que f(a\cdot m) = a\cdot f(m) por todos a\in A e m\in M, i.e. μ_Ν \circ (Id_A\times f) = f \circ μ_M como duas funções A\times M \to N.
Exercício 4.1. Definir submódulos. Verificar que por cada morfismo de A-módulos f: M \to N a imagem Im(f) é um submódulo de N.
Definição 4.1. Os submódulos do módulo trivial A são chamados ideais de anel A.
Exercício 4.1. Verificar que por cada morfismo de A-módulos f: M \to N o subconjunto de M definido por Núc(f) := \{ m\in M t.q. f(m) = 0 \} é um submódulo de M. Ele é chamado o núcleo do morfismo f.
Exercício 4.1. Construir uma equivalência entre categorias de grupos abelianos e módulos sobre o anel \mathbf{Z} dos inteiros. Isso é verifique que por cada grupo abeliano existe a única estrutura de \mathbf{Z}-módulo e cada morfismo de grupos abelianos também é um morfismo de \mathbf{Z}-módulos com respeito destas únicas estruturas de \mathbf{Z}-módulos.
Exercício 4.1. Seja K[x] um anel de polinómios sobre um corpo K. Construir uma equivalência entre a categoria de K[x]-módulos e a categoria de pares (V,\varphi \in \mathop{\mathrm{End}}_K(V)) onde V é um espaço vetorial V sobre um corpo K e \varphi é uma autotransformação K-linear dele. Morfismos na última categoria entre objetos (U,\psi) e (V,\varphi) são definidos como as transformações lineares f : U \to V tais que f\circ \psi = \varphi \circ f.
Definição 4.1 (Geradores de módulo ou submódulo). Dado uma função γ : C\to M, o conjunto imagem dos elementos de A-módulo M é chamado um sistema de geradores de M se por qualquer m\in M existe função μ: C \to A tal que m = \sum_{c\in C} μ(c) \cdot γ(c). Mais geral por qualquer função γ : C\to M verifique que o conjunto dos elementos \{\sum_{c\in C} μ(c) \cdot γ(c) | μ: C \to A é um submodulo de M. Ele é chamado submódulo gerado por γ(C).
Definição 4.1 (Módulos cíclicos). O A-módulo é chamado cíclico se ele é gerado por um elemento. Equivalentemente, existe o morfismo dos módulos A\to M sobrejetivo.
Exercício 4.1. Provar que se f: M \to N um morfismo de A-módulos sobrejetivo e M é cíclico, então N é cíclico.
Definição 4.1. Por um A-módulo M e um conjunto X podemos munir o conjunto M^X das funções f: X \to M com uma estrutura de A-módulo.
Exercício 4.1. Por qualquer dois A-módulos M,N podemos munir o conjunto dos morfismos de A-módulos \mathop{\mathrm{Hom}}_{A-Mod}(M,N) com uma estrutura de A-módulo.
Exercício 4.1 (Quociente de um módulo por um submódulo). Seja N \subset M é um submódulo do A-módulo M. Provar que existe um A-módulo Q e o morfismo de A-módulos q : M \to Q tal que N é o núcleo de q e por qualquer morfismo de A-módulos f : M \to L tal que f(N) = 0 existe o único morfismo de A-módulos g: Q \to L tal que f = g \circ q.
Definição 4.1 (Aplicação bilinear entre módulos). Sejam M,N,L três A-módulos. Uma função f : M\times N \to L de produto cartesiano é chamada (A-)linear em primeiro argumento se por cada m\in M aplicação f_m : N\to L dado por f_m(n) := f(m,n) é o morfismo de A-módulos. Similarmente ela é (A-)linear em segundo argumento se por cada n\in N aplicação f_n : M\to L dado por f_n(m) := f(m,n) é o morfismo de A-módulos. Função f é chamada bilinear se ela é linear em ambos (primeiro e segundo) argumentos.
Exercício 4.1. Definir soma das funções bilineares f,g : M\times N \to L e produto a \cdot f por qualquer a\in A. Mostrar que o conjunto de todas funções bilineares de M\times N para L munido com soma, diferença, produto por escalares e função 0 é um A-módulo.
Exercício 4.1 (Produto tensorial de A-módulos). Provar que por qualquer dois A-módulos M,N existe a função (A-)bilinear universal, i.e. existe o A-módulo U munido com uma função bilinear u: M\times N \to U tal que por qualquer função bilinear f : M\times N \to L no A-módulo L existe o único morfismo de A-módulos g: U\to L tal que f = g \circ u.
Exercício 4.1. Sejam u : M\times N \to U e v : M\times N \to V duas funções bilineares universais. Provar que existem os únicos morfismos de A-módulos d: U \to V e e: V\to U tais que d\circ u = v e e\circ v = u. Provar que d\circ e = Id_V e e\circ d = Id_U.
. Provar que cada grupo cíclico é abeliano. Mostrar um grupo abeliano mas não cíclico.
. Provar que cada subgrupo de um grupo cíclico é cíclico. (B\subset A e A é cíclico implica que B é cíclico).
. Provar que o grupo abeliano finito é simples se e só se a ordem dele é um primo.
. Por um grupo (G,g\cdot h = p(g,h),e,g\mapsto g^{-1}) e um conjunto (finito) X considere o conjunto G^X das funções f: X \to G munído com uma operação binária p_X : G^X \times G^X \to G^X definida por p_X (f_1, f_2) := p \circ (f_1 \times f_2) i.e. (f_1 \cdot f_2) (x) = f_1(x) \cdot f_2(x) por cada x\in X. Similarmente definirmos a função inversa f^{-1} (x) = f(x)^{-1} e neutra e(x) = e (função constante igual ao e). Prove que G^X munido com essas operações é um grupo, e que ele é isomorfo ao produto cartesiano/direito de |X| cópias do grupo G.
. Homomorfismos inteiros Por qualquer dois grupos abelianos A,B mostre que o conjunto dos morfismos de grupos Grupos(A,B) = \mathop{\mathrm{Hom}}_{Grupos}(A,B) é um subgrupo de B^A do problema anterior. Alternativamente, por dois homomorfismos f,g: A\to B verifique que a soma, o negativo e a função zero definidas por qualquer a\in A por fórmulas (f+g)(a) := f(a) + g(a), \quad (-f)(a) := -f(a), \quad 0(a) := 0 são também os homomorfismos de grupos.
. Porque precisamos abelianidade no problema anterior? Construir contraexemplo para grupos não necessariamente abelianos.
. Quociente de um grupo abeliano Seja B \subset A é um subgrupo no grupo abeliano A. Provar que existe um grupo abeliano Q e o morfismo de grupos q : A \to Q tal que B é o núcleo de q e por qualquer morfismo de grupos f : A \to G tal que f(B) = e_G existe o único morfismo de grupos g: Q \to G tal que f = g \circ q.
Definição 5.1 (Complexo). Um comlpexo é um grupo abeliano C munido com um seu endomorfismo d: C\to C tal que \label{eq:complexo} d^2 = 0 onde d^2 := d\circ d é a composição de d com si mesmo.
. Verifique que um endomorfismo d: C\to C de um grupo abeliano C satisfaz se e somente se a imagem \mathop{\mathrm{Im}}d := \{c\in C : \exists s\in C , c = ds\} é um subgrupo do núcleo \mathop{\mathrm{Núc}}d := \{c\in C : dc = 0\}.
Definição 5.1 (Homologia). O grupo quociente \mathop{\mathrm{Núc}}d / \mathop{\mathrm{Im}}d é chamado o grupo de homologia do complexo (C,d) = (C,d: C\to C) e denotado H(C,d) ou simplesmente H.
. Seja d: C\to C um complexo no grupo abeliano finito C. Provar que os números |C|\cdot |H| e \frac{|C|}{|H|} são os quadrados dos números naturais.
Definição 5.1 (Aplicação bilinear). Sejam A,B,C grupos abelianos. Uma função f : A\times B \to C de produto cartesiano é chamada linear em primeiro argumento se por cada a\in A aplicação f_a : B\to C dado por f_a(b) := f(a,b) é o morfismo de grupos. Similarmente ela é linear em segundo argumento se por cada b\in B aplicação f_b : A\to C dado por f_b(a) := f(a,b) é o morfismo de grupos. Função f é chamada bilinear se ela é linear em ambos (primeiro e segundo) argumentos.
. Definir soma das funções bilineares f,g : A\times B \to C. Mostrar que o conjunto de todas funções bilineares de A\times B para C munido com soma, diferença e função 0 é um grupo abeliano.
. Produto tensorial de grupos abelianos Provar que por qualquer dois grupos abelianos A,B existe a função bilinear universal, i.e. existe o grupo abeliano U munido com uma função bilinear u: A\times B \to U tal que por qualquer função bilinear f : A\times B \to C no grupo abeliano C existe o único morfismo de grupos abelianos g: U\to C tal que f = g \circ u.
. Sejam u : A\times B \to U e v : A\times B \to V duas funções bilineares universais. Provar que existem únicos morfismos de grupos d: U \to V e e: V\to U tais que d\circ u = v e e\circ v = u. Provar que d\circ e = Id_V e e\circ d = Id_U.
Definição 5.1. Notação: se u: A\times B \to U é uma função bilinear universal o codomínio dela U pode ser escrito como A\otimes B e por qualquer a\in A, b\in B a imagem u(a,b) \in U pode ser escrito como a\otimes b \in A\otimes B. Se temos duas funções bilineares universais as identificamos usando o problema anterior.
. Generalizar as funções bilineares e os produtos tensoriais para o caso dos A-módulos.
Definição 5.1 (Tesselações de rectangulo.). Uma reta paralela ao um dos lados do rectangulo que passa de interior dele corta o rectangulo em dois rectangulos com lados paraleos aos lados do rectangulo original. Vamos dizer que um conjunto finito T dos rectangulos R_t, t\in T é uma tesselação de rectangulo R se T = \{ R \} (|T|=1) ou existe j,k\in T e uma tesselação S com um dos rectangulos R_i tais que T-\{j,k\} = S-\{i\} e um par de rectangulos R_j,R_k são obtidos como corta de R_i em senso definido acima.
. Provar que se um rectangulo R tem uma tesselação R = \bigcup_{t\in T} R_t tal que por cada rectangulo R_t um dos lados é racional, então um dos lados de rectangulo R é racional.
. Resolução de Dehn do terceira problema de Hilbert Provar que tetrahedro regular não é congruente ao cubo. 4
Definição 5.1. Uma função q: U \to V entre dois grupos abelianos é chamada função quadratica se por todos x,y,z\in U q(x+y+z) + q(x) + q(y) + q(z) = q(x+y) + q(x+z) + q(y+z) + q(0)
. [ex:quadratic] Provar que por qualquer grupos abelianos U,V e qualquer função bilinear b: U\times U\to V, função linear l: U\to V e elemento c\in V, uma função q : U\to V definida por q(u) = b(u,u) + l(u) + c é quadrática.
Definição 5.1. Digam que o grupo G é n-divisível se a equação g^n = h tem a única solução por qualquer h\in G.
. Seja V um grupo abeliano 2-divisivel e q: U\to V uma função quadrática. Provar que existem b,l,c tais que q é obtida por construção de problema [ex:quadratic]. 5
Definição 5.1. Digam que uma função é quadrática homogênea se l=0 e c=0, i.e. q(u) = b(u,u).
. Formular e provar um análogo do teorema de Cayley para as K-álgebras sobre um corpo K ou para os anéis (não necessariamente comutativos).
. prato Seja V = V_\mathbf{C}= \mathbf{C}^n um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo \mathbf{C} dos números complexos com coordenadas z_1,\dots,z_n. Ele pode ser considerado como um espaço vetorial V_\mathbf{R}= \mathbf{R}^{2n} de dimensão duplo (\dim_\mathbf{R}V = 2n) sobre um subcorpo \mathbf{R}\subset\mathbf{C} dos números reais com coordenadas x_1,y_1,\dots,x_n,y_n\, | z_k = x_k + i y_k. Considerar dentro do grupo GL(V_\mathbf{R}) \simeq GL(2n,\mathbf{R}) as seguintes três subgrupos:
A := GL(V_\mathbf{C}) \simeq GL(n,\mathbf{C})
D := O(V_\mathbf{R}, q) para q(z) = \sum_{k=1}^n |z_k|^2 = \sum_{k=1}^n x_k^2 + y_k^2
C := Sp(V_\mathbf{R}, \omega) para \omega(z,z') = \sum x_k y_k' - y_k x_k'
Provar que A\cap D = A\cap C = D\cap C e descrever as matrizes complexos dentro deste interseção. 6 Bônus: generalizar para outros corpos.
Embaixo A é um anel, K é um corpo.
. Construa um isomorfismo entre o anel Mat(m\times m,Mat(n\times n,A)) de matrizes m\times m sobre o anel de matrizes n\times n sobre um anel A e o anel Mat(mn\times mn, A) de matrizes mn\times mn sobre A.
. Provar que sobre um corpo cada matriz é igual a soma de matrizes inversíveis.
. Provar que a matriz no GL(n,K) é central se e só se ela é escalar.
. Computar as cardinalidades dos grupos matriciais finitos SL(n,q) e PSL(n,q) (se quiser pode supor que o número q é primo).
. Definir a ação transitiva do grupo PGL(2,\mathbf{Z}) na reta projetiva racional \mathbf{P}^1(\mathbf{Q}) e explicar como a transitividade desta ação é relacionada ao algoritmo de Euclides.
. Construir um homomorfismo sobrejetivo do grupo PSL(2,\mathbf{Z}) para o grupo D_3 de isometrias de triangulo regular.
. Construir um isomorfismo entre os grupos PSL(2,\mathbf{Z}/7) e GL(3,\mathbf{Z}/2).
. [p7] Seja \mathbf{Z}[\omega] = \mathbf{Z}[\omega]/(\omega^2+\omega+1) um anel de inteiros de Eisenstein, e G := \DejaSans\text{😺}(2,\mathbf{Z}[\omega]) um grupo linear, \DejaSans\text{😺}= GL, SL, PGL, PSL. Falso ou verdade:
Existe um morfismo sobrejetivo de G para o S_5.
Existe um morfismo injetivo de S_5 no G.
. Definir o centro de um grupo e os grupos simples. Provar que o grupo simples não abeliano tem o centro trivial.
. Definir a abelianização de um grupo e os grupos simples. Provar que o grupo simples não abeliano tem a abelianização trivial.
. [p6] Suponha G é um grupo (a priori não necessariamente abeliano) tal que para cada número d existe ao máximo d elementos g\in G tais que g^d = e_G. Provar que o grupo G é cíclico. 7
. Provar que os seguintes G-conjuntos são isomorfos
ação regular esquerda
ação regular direita
qualquer ação efetiva e transitiva
. Se H e N são os subgrupos normais de um grupo G, mostrar que H\cap N é normal no H e H/H\cap N é isomorfo a um subgrupo normal de G/N.
Definição 5.1. Um complemento de um subgrupo H\subset G é um subgrupo K\subset G tal que cada elemento de g\in G pode ser expressa em jeito único como o produto h\cdot k de um elemento h\in H e um elemento k\in K.
. cf. exercícios 9.4.22 e 11.4.16 de AATA[p1] Seja F,H dois subgrupos de um grupo G.
[p1-0] Suponha que H é normal e F é um complemento de H. Provar que F é isomorfo ao grupo quociente G/H.
[p1-1] Suponha que subgrupos F e H são normais e que a interseção deles é somente um elemento neutro. Provar que cada elemento de F comuta com cada elemento de H.
Mostrar que a aplicação dos conjuntos p: F\times H\to G definido por p(f,h)\to fh é um isomorfismo dos grupos se e só se os subgrupos F,H satisfazem as condições de [p1-1] e para cada g\in G existem f\in F, h\in H tais que g=fh. 8
. Sejam p<q os números primos tais que q\neq1\mod p. Prove que todos os grupos de ordem p\cdot q são cíclicos.
. Provar um dos três de Sylow.
. cf. Exer. 11.11 na AATA Considerar os seguintes grupos:
Q_8 = \{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\} \subset \mathbf{H},
o grupo das isometrias do quadrado,
\big(\begin{smallmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\big)\subset GL(3,\mathbf{Z}/2),
um grupo 2-Sylow de S_4,
um grupo 2-Sylow de PSL(2,\mathbf{Z}/7),
um produto semidireto de \mathbf{Z}/4 e \mathbf{Z}/2 não trivial,
um extensão central de \mathbf{Z}/2\times\mathbf{Z}/2 por \mathbf{Z}/2 não trivial.
Classificar as classes de isomorfismo destes grupos.
. Escolha uma estrutura algébrica (grupos, anéis, grupos abelianos, A-módulos, G-conjuntos, monoides, semigrupos, magmas, anês (anéis sem unidade nos dados)). Escreva as definições dos objetos desta estrutura e dos morfismos entre eles. Prove que os objetos e os morfismos dela formam uma categoria, i.e. define a composição de morfismos e os morfismos identidade, verifique associatividade da composição e neutralidade das identidades.
. Provar que todos os automorfismos de um grupo simétrico S_n = \mathop{\mathrm{Aut}}\left\{1,2,\dots,n\right\} são internos por n\neq6.
Dica: computar as cardinalidades dos classes de conjugação e lhes comparar.
. Provar que o grupo S_6 tem uns automorfismos que não são internos. E.g. construir um.
Um esboço de uma solução geométrica. Considerar o grupo das rotações de um icosaedro regular I.
Ele age simplismente transitivo no conjunto das 60 bandeiras, então tem ordem 60.
Ele permuta cinco tertraedros T_1,\dots,T_5 inscritos no I, então é um subgrupo de S_5.
No outro lado ele permuta seis pares P_1,\dots,P_6 dos vértices opostos.
Um esboço de uma solução algébrica.a
Considere a ação adjunta do grupo S_5 no conjunto dos seus subgrupos de ordem 5.
Verifique que ela é transitiva e induz a inclusão i: S_5 \to S_6 exótico.
Mostre que S_6 tem 6 subgrupos H_1=i(S_5),\dots,H_6 conjugados com a imagem i(S_5).
Considere a ação adjunta de S_6 no conjunto \{H_1,\dots,H_6\}.
. Reticulado de Leech e grupo de Conway[p12]
Achar uma solução em números naturais n,m\geq2 da equação \label{eq:nm} 0^2 + 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = m^2
Achar um polinômio f\in\mathbf{Q}[x] tal que por todos naturais n\geq0 temos \sum_{i=0}^n i^2 = f(n). Provar esta formula. Decompôr f em irredutíveis.
Provar que [eq:nm] tem a única solução em naturais n,m\geq 2. 9
Seja n,m\geq 2 uma solução de [eq:nm]. Considerar o espaço vetorial \mathbf{R}^{n+2} munido com as coordenadas x_{-1},x_0,x_1,\dots,x_n com respeito de um base e_{-1},e_0,\dots,e_n, e uma forma quadrática q(x) = -x_{-1}^2 + x_0^2 + x_1^2 + \dots + x_n^2 com associada forma simétrica bilinear b(x,x') = -x_{-1} x_{-1}' + \sum_{i=0}^n x_i x_i' Definir A\subset\mathbf{R}^{n+2} como um subgrupo gerado por e_i e \frac{\sum_{i=-1}^n e_i}2 e II := \mathop{\mathrm{Núc}}(s) como um núcleo de morfismo s: A\to \mathbf{R}/(2\mathbf{Z}) definido por s(x) = [\sum_{i=-1}^n x_i] \in \mathbf{R}/(2\mathbf{Z}). Considerar o vetor v = (0,1,2,\dots,n,m) \in II e o seu ortogonal v^\perp := \{u\in II\,|\,b(u,v)=0\} implica que q(v) = 0 i.e. v\in v^\perp. 10 Considerar o grupo quociente \Lambda := v^\perp / (\mathbf{Z}v) munido com as formas quadrática e bilinear induzidas B([w+\mathbf{Z}v],[w'+\mathbf{Z}v]) := b(w,w') e Q(l) := B(l,l) por [w+\mathbf{Z}v] = l \in \Lambda.
Verificar que \Lambda como grupo abeliano é isomorfo a \mathbf{Z}^n e que as formas B e Q são bem definidas. 11
Provar que Q(l) é um número par por todos l\in\Lambda.
Provar que Q(l)\geq 4 por todos l\neq0\in\Lambda.
Provar que o grupo das isometrias Isom(\Lambda,Q) é finito.
O grupo das isometrias do reticulado de Leech é chamado um grupo de Conway Co_0 porque em 1968 John Conway computou o seu ordem 8,315,553,613,086,720,000 12
. Teorema de Frobenius[p13]
Seja A uma álgebra de divisão associativa 13 de dimensão finita sobre os números reais \mathbf{R}. Provar que a álgebra A é isomórfa a uma das \mathbf{R},\mathbf{C},\mathbf{H}.
Seja V\simeq\mathbf{R}^n e \rho: G\to GL(V)\simeq GL(n,\mathbf{R}) uma representação linear real de dimensão finita n do grupo finito G. O anel dos endomorfismos da representação \rho é um centralizador de \rho(G) na álgebra matricial \mathop{\mathrm{End}}_\mathbf{R}(V) \simeq Mat(n\times n,\mathbf{R}) dos endomorfismos do espaço linear V. 14 Suponha que os únicos subespaços lineares W\subset V e G-invariantes são somente 0 e V mesmo. 15
Provar que o anel de endomorfismos de \rho é isomorfo a um dos \mathbf{R},\mathbf{C},\mathbf{H}.
Construir um exemplo de cada tipo.
. Demonstração de Zolotarev 16 da Lei de Reciprocidade Quadrática[p14] Considerar um polinômio discriminante \label{def:disc} D(x_1,\dots,x_n) := \prod_{1\leq i < j\leq n} (x_j-x_i) e a matriz de Vandermonde V_{ij} = x_i^{j-1} \label{def:vdm} V(x_1,\dots,x_n) := \begin{vmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \dots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{2}^{n-1} \\ \hdotsfor{5} \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \dots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix} O grupo simétrico S_n age nos polinômios de n variaveis permutando as coordenadas.
Mostrar que o grupo S_n é gerado por transposições (i\,i+1)
Mostrar que as transposições (i\,i+1) são conjugados uma doutra
Provar que por cada grupo abeliano A a imagem do cada morfismo f: S_n\to A é um subgrupo gerado por f((12))
Provar que existe o único morfismo sobrejetivo S_n\to \mathbf{Z}/2, o sinal 17
Mostrar que o determinante de Vandermonde é igual ao discriminante 18 D(x_1,\dots,x_n) = \det V(x_1,\dots,x_n)
Mostrar que para cada \sigma\in S_n a imagem \sigma(D) é igual ao \mathop{\mathrm{sinal}}(\sigma)\cdot D 19 20
Seja m um número impar. Por a\in(\mathbf{Z}/m)^* considerar a operação de multiplicação com a como uma permutação \pi_{a} no conjunto \mathbf{Z}/m: \pi_{a}(x) = a\cdot x\in\mathbf{Z}/m.
Provar o teorema de Zolotarev: o sinal de \pi_{a} : \mathbf{Z}/p é igual ao símbolo de Legendre (a/p) por números m=p primos. 21 22
Seja p,q dois números primos impares. Considerar os intervais I(l) = \{0,1,\dots,l-1\}. Por cada número natural n\in I(pq) existem as únicas a,a'\in I(p) e b,b'\in I(q). tais que a\cdot q + b = n = a' + b'\cdot p. Definir a permutação \zeta de I(pq) como \zeta(qa+b) = a+pb por a\in I(p),b\in I(q).
Mostrar que o sinal de \zeta é igual (-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}{2}}
Decompor \zeta em produto de dois permutações de I(pq): uma \mu que fixa n\mod(p) e outra \nu que fixa n\mod(q)
Mostrar que o sinal de \mu é igual ao símbolo de Legendre (p/q)
Provar a lei de reciprocidade quadrática (p/q) (q/p) = (-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}{2}}
Generalizar a lei e a demonstração por números coprimos impares e o símbolo de Jacobi
Usando a lei sobre números impares provar as fórmulas por (\pm2/p) 23 24
. Semigrupo livre sobre um alfabeto S. "abra" * "cad" * "abra" = "abracadabra".
. Quasegrupos e quadrados latinos
. Planos projetivos finitos e quadrados latinos ortogonais
. planos projetivos sobre um corpo
. Provar o teorema de Desargue para cado plano projetivo sobre um corpo (não necessariamente comutativo).
. Provar que cado plano projetivo desargueano é isomorfo a um plano projetivo sobre um corpo (não necessariamente comutativo).
Na programação este truque é chamado currying, na matemática podemos escrever \mathop{\mathrm{Hom}}(A\times B, C) = \mathop{\mathrm{Hom}}(A,\mathop{\mathrm{Hom}}(B,C)).↩︎
Dizem que \mathbf{Z} é um objeto inicial na categoria dos anéis (com unidade).↩︎
TODO: Para cada corpo F e polinômio P\in F[x], irredutibilidade é equivalente ao fato que o quociente é corpo.↩︎
Dica: o invariante de Dehn é definido como a soma sobre as arestes \sum_a l_a \otimes \alpha_a \in \mathbf{R}\otimes S^1, onde l_a\in \mathbf{R} é o cumprimento da areste, e \alpha_a \in S^1 = \mathbf{R}/2π\mathbf{Z} é o ângulo diedral. Verifique que ele é aditiva com respeito de corta de poliedro, e o compute para o cubo e o tetraedro regular.↩︎
Considere B(x,y) = q(x+y)-q(x)-q(y)+q(0) e prove que é uma função bilinear. Considere L = - q(2x) + 4 q(x) - 3 q(0) e prove que é uma função linear. Verifique que 2q(u) - B(u,u) - L(u) - 2 q(0) = 0. Use 2-divisibilidade.↩︎
Este é um grupo unitário U(n).↩︎
Mostrar que \mathop{\mathrm{mmc}}\{ord(g)\,|g\in G\} = |G|. Mostrar que por qualquer potência de primo p^j que divide |G| existe um elemento de ordem p^j. Mostrar que existe um elemento de ordem |G|.↩︎
Neste caso dizem que o grupo G decompõe-se no produto direto de F e H.↩︎
Teoria das curvas elíticas ajuda para computar todas as soluções racionais, mas para soluções naturais será muito mais prático usar os métodos simples da descida infinita de Fermat: computar \mathop{\mathrm{mdc}} dos fatores de f, considerar a decomposição primária de m, conferir os fatores de 6m^2 com os fatores de 6 f(n),…↩︎
Dizem que v é um vetor isotrópico.↩︎
Um reticulado de Leech é um reticulado isométrico ao (\Lambda,Q).↩︎
Conway, John Horton (1968), "A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 61 (2): 398–400, doi:10.1073/pnas.61.2.398↩︎
“Corpo não necesseriamente comutatívo”’: a\cdot a'=0 só se a=0 ou a'=0.↩︎
Um morfismo \phi\in\mathop{\mathrm{Hom}}_{Rep-G}(\rho',\rho) entre duas representações \rho': G\to GL(U)\subset\mathop{\mathrm{End}}(U) e \rho : G \to GL(V)\subset\mathop{\mathrm{End}}(V) é um morfismo \phi: U\to V dos espaços lineares tal que \rho(g)\circ\phi = \phi\circ\rho'(g) por cada g\in G. Por G-representações \rho_i : G\to GL(V_i) e morfismos deles \phi: V_1 \to V_2 e \psi: V_2\to V_3 a composição \psi\circ\phi: V_1 \to V_3 é um morfismo entre \rho_1 e \rho_3. A operação \circ é associativa (é só um caso especial de composição das mapas entre conjuntos). Um endomorfismo é um morfismo no si mesmo, isso é U=V,\rho'=\rho. Neste caso, conjunto \mathop{\mathrm{End}}_{Rep-G}(\rho) := \mathop{\mathrm{Hom}}_{Rep-G}(\rho,\rho) é uma álgebra associativa. É imediato que o anel dos endomorfismos é a mesma coisa que o centralizador da imagem do grupo ná algebra das matrizes \mathop{\mathrm{End}}_\mathbf{R}(V). Conferir com o uso do centralizador na prova do teorema de Wedderburn na aula 26.↩︎
Neste caso a representação \rho é chamada irredutível, ou as vezes em jeito mais curto — irrep.↩︎
Zolotareff G. (1872). «Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre» Nouvelles Annales de Mathématiques. 2e série. 11: 354–362↩︎
Há muitos jeitos de provar, um entre eles é usar o discriminante, outro é usar o determinante, e muitos outros.↩︎
Ambos são os polinômios homogeneous da mesma grau. Mostrar que o determinante é divisivel por (x_1-x_2) e usar fatoração única no anel \mathbf{Z}[x_1,\dots,x_n]. Também confer com truque no aula 28 para derivação de teorema de Cayley–Hamilton por anéis comutativos gerais (de caso dos corpos).↩︎
Dizem que a função D é anti-simétrica.↩︎
Uma prova deste ponto pode ser usada como a construção e a definição do sinal. Verificar que \sigma\to \frac{\sigma(D)}{D} é um morfismo não trivial no grupo multiplicativo dum corpo.↩︎
O sinal da permutação \pi_a : \mathbf{Z}/m tem sentido para números m não necessariamente primos. O símbolo de Jacobi é definido como a continuação bilinear do símbolo de Legendre. (a/(p_1\cdot p_2\cdot\dots\cdot p_n)) := (a/p_1)\cdot(a/p_2)\cdot\dots\cdot(a/p_n). Frobenius generalizou o teorema de Zolotarev para caso composto: o sinal de \pi_a: \mathbf{Z}/m é igual ao símbolo de Jacobi (a/m).↩︎
Substituir no D variavel x_i por número i, usar o lema de Legendre e a anti-simetridade de discriminante. A mesma demonstração com a função discriminante vale pra generalização de Frobenius.↩︎
Cf. problemas bônus de G_1.↩︎
Se m é impar (\pm2/m) = (m\pm2/m) com m\pm2 impar.↩︎