Os programas calculadores (sistemas algébricos computacionais) livres.

• SageMath (Sistema Algébrico e Geométrico de Experimentações): SageMath.org SageCell, CoCalc.
  Já incluidos no SageMath são:
• PARI/GP [mostrar ou ocultar etimologia],
  (a etimologia é relacionada com Aposta de Pascal (fr. pari de Pascal), um matematico e teólogo catolico francês)
  PARI.math.u-bordeaux.fr (também tem GP no navegador),
• GAP (Grupos, Algoritmos e Programação).

1. [03.02] a gravação @ moodle,
   • Introduçao: o curso se chama "estruturas algébricas", mas o que é uma estrutura algébrica?
   • Um exemplo de álgebra linear:
   • a estrutura de espaço vetorial sobre um corpo fixo (e.g. sobre números racionais, reais ou complexos),
   • Morfismos (ou homomorfismos) entre espaços vetoriais são transformações/aplicações/mapas/funções lineares,
   • morfismo/função/transformação/mapa/relação identidade,
   • [!] composição de morfismos,
   • associatividade de composição (cf. associatividade),
   • e neutralidade das identidades (cf. elemento neutro).
   • O que é uma operação [3.2] e -aridade dela [gp: arity] (constantes, operações unárias são endomorfismos, operações binárias, etc).
   • As operações simples como os dados e as igualdades entre as operações compostas como @s regras/axiomas/propriedades.
2. [03.04] Notas, Moodle,
   • A soma $1+2+3+...+n$ como um módelo para discutir experimentos, teoremas, lemas, corolários, demonstrações. Diferentes jeitos de provar. Indução matemática. [2.1] (gp jornal).
   • Conjuntos.
   • Injeções (funções injetivas, injetoras, f: F ↣ A) e subconjuntos.
   • Sobrejeções (funções sobrejetivas, sobrejetoras, f: F ↠ A) e conjuntos quocientes.
   • Relação de eqiuvalência, classes de equivalência, conjunto quociente e o morfismo quociente (projeção canônica). Partição associada à sobrejeção. Fibras (preimagens) das sobrejeções como classes de equivalência. [1.2]
   • Inversos de lado esquerdo e direito (seções e retrações).
   • Morfismos inversiveis de um e de dois lados (isomorfismos).
   • A demonstração da unicidade do inverso do isomorfismo.
3. [03.09] Notas, Moodle,
   • Seções e retrações (inversos de um lado) de morfismo.
   • Definição de epimorfismos e monomorfismos como morfismos cancelativos de um lado (i.e. $xe=ye \implies x=y$ ou $mx=my \implies x=y$).
   • Uma demonstração que a existência de uma seção implica que o morfismo é epi, e a existência de uma retração implica que o morfismo é mono.
   • O axioma da escolha que postula a equivalência entre a sobrejetividade de um morfismo e a existência de uma seção dele.
4. [03.11] Notas, Moodle,
   • Relações binárias.
   • Relações de ordem.
   • Relação bem-ordenada (boa ordenação). [ 2.1]
   • Cardinais (classes de equivalência de conjuntos modulo isomorfismos).
   • Ordem dos cardinais usando injeções/sobrejeções.
   • Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.
   • Teorema de Cantor e o seu argumento da diagonalização.
   • Princípio de gavetas de Dirichlet.
   • Axiomática de Dedekind-Peano dos números naturais.
   • Adição e multiplicação dos números naturais como as operações derivadas das operações "Zero" e "Sucessor" (depois Grassmann, 1861).
   • Axioma de indução e o princípio da boa ordenação (o princípio da boa ordem).
   • O primeiro encontro com as raizes de unidade.
   • BÔNUS: O jogo dos números naturais de Kevin Buzzard
5. [03.16] Notas, Moodle,
   • Morfismos de conjunto-quociente em termos da associada relação de equivalência: por $q: C \to C/R =:Q$ e $f: Q \to A$, considerar $g = fq$, então por $g: C \to A$ existe $f: C/R \to A$ tal que $g = f$ se e só se $g(c) = g(c')$ por todos $(c,c')$ no $R$.
   • Divisibilidade e fatorações dos números inteiros: divisores e multiplos. Ideais principais nos inteiros.
   • Congruência depois de Euler e aritmética modular depois de Gauss. [3.1]
   • Congruência módulo um inteiro (N) é uma relação de equivalência $c=b (N)$, o conjunto quociente é chamado o conjunto dos resíduos.
   • Aplicação quociente (dos conjuntos) $\mathbf{Z} \to \mathbf{Z}/(N)$, a construção de uma seção dele (um sistema de representantes). [gp: Mod(123,57), 123%57, lift(Mod(123,57))]
   • Divisão com resto.
   • Parte inteira e a função floor (piso), a função ceil (teto), parte fracionária e a função frac.
   • Propriedades/regras/axiomas de associatividade, neutralidade, inversos, comutatividade, distributividade.
   • [!] Definição das estruturas algébricas: monoide (comutativo ou não), grupo [3.2] (abeliano ou não), anel (anel comutativo, anel com unidade ) como dados (operações no conjunto) sujeito aos axiomas.
   • [!] Definição dos morfismos dos anéis [expandir] (também conecidos como homomorfismos).
   • [?] Exercício: provar que existe a única estrutura de anel no conjunto quociente $\mathbf{Z}/(N)$ tais que o natural mapa quociente $\mathbf{Z} \to \mathbf{Z}/N$ dado por $b \mapsto Mod(b,N)$ é um morfismo dos anéis. [cf. Proposição 3.4]
6. [03.18] Notas, Moodle,
   • Máximo divisor comum. [2.2]
   • Algoritmo de Euclides. [2.2]
   • Teorema de Bachet-Bézout. [2.2: 2.10]
   • Coprimalidade [2.2]
   • Uma interpretação geométrica do algoritmo de Euclides
   • [!] Definição de uma ação do grupo no conjunto [ 14.1]
   • [!] Órbitas da ação, conjunto quociente da ação (o conjunto das órbitas) [ 14.1]
   • O grupo $GL(2,\mathbf{Z})$ (cf. o grupo modular $PSL(2,\mathbf{Z})$) e a ação dele no $\mathbf{Z}^2$
   • O subgrupo de $GL(2,\mathbf{Z})$ gerado por transformações elementares (usados no algoritmo de Euclides)
7. [03.23] EXERCÍCIOS,
   Notas, Moodle,
   • Resíduos inversiveis e a divisão dos resíduos: Mod(a,N) é inversivel se e só se mdc(a,N)==1. [gp: 1/Mod(3,5); gcd(3,5);]
   • Os grupos, a primeira vista abstrata.
   • [!] A imagem do morfismo dos grupos, os subgrupos.
   • Os subgrupos gerados por um subconjunto. Os geradores. Os subgrupos gerados por um elemento (subgrupos cíclicos).
   • Os grupos cíclicos e os subgrupos cíclicos.
   • Ordens dos grupos e dos elementos. [gp: znorder]
   • Teorema chinês do resto [gp: chinese]
   • Função totiente de Euler [gp: eulerphi] [6.3] e a sua multiplicatividade.
   • [?] Exercício: chinese([Mod(5,7),Mod(8,11),Mod(9,13)]) = ??
8. [03.25] (gp jornal). Notas, Moodle,
   • Bônus: Plimpton 322, ternos pitagóricos (a solução de Euclides), Diofanto de Alexandria ("o pai da álgebra") contra álgebra geometrica dos gregos antigos.
   • Coeficientes (constantes), variaveis (indeterminadas) e polinômios.
   • Grau de polinômio univariavel, polígono de Newton de polinômio bivariavel.
   • Operações com polinômios, anéis de polinômios
   • Substituição de variavel (!w: es, en) como um morfismo dos anéis
   • Uma analogia entre o anel Z dos números inteiros e os anéis K[x] de polinômios univariaveis sobre um corpo K.
   • Divisão com resto, mdc, algoritmo de Euclides, teorema de Bezout, resíduos e teorema chinês para os anéis K[x] de polinômios univariaveis sobre um corpo.
   • [!] Definições de aneis e morfismos de anéis, A-álgebras (álgebras sobre um anel A) e morfismos deles, corpos (anéis com o único elemento não inversível 0).
   • O anel de polinômios A[S] como uma A-álgebra livre gerada por S, como A-álgebra com uma familia de elementos indexados por S universal.
   
   abril 6 - maio 21: G1 (grau um)
9. [04.06] Notas, Moodle,
   • Definições das magmas, semigrupos, monoides, quasegrupos, grupos [3.2] e morfismos deles [11.1].
   • Tabuada (Cayley table [3.2]) de um magma. Tabulas de multiplicação dos quasegrupos são quadrados latinos.
   • As ações como os morfismos (usando currying).
   • Exemplos dos grupos, das ações e dos (homo)morfismos de grupos.
   • Os aneis $Mat(n\times n)$ das matrizes quadradas
   • Os grupos lineares gerais $GL(n)$ das matrizes inversíveis [12.1]
   • Determinante como um morfismo $\det : GL(n) \to GL(1)$ [12.1]
   • Permutações [5.1]
   • A matriz da permutação como o morfismo $Σ(n) \to GL(n)$, o sinal de uma permutação
   • Grupo linear especial $SL(n)$ - o núcleo do morfismo determinante
10. [04.08] Notas, Moodle. Formulação dos problemas de G1. [+video @ moodle]
    • Lembrança: imagens [11.1] dos morfismos de grupos.
    • Epimorfismos de grupos. Núcleos. [11.1]
    • As relações definidos por subconjuntos são relações de equivalência se e só se o subconjunto é um subgrupo.
    • Conjuntos quocientes $G / H$ e $H\backslash G$ das classes laterais gH e Hg. [ 6.1]
    • Exercício: provar que não existe nenhuma estrutura de grupo no imagem de morfismo quociente $c: Σ(3) \to Σ(3)/Σ(2)$ tal que $c$ é morfismo de grupos.
    • Bônus + exercícios: planos projetivos finitos. Plano de Fano.
    • Problema: por quais $N$ existe a relação entre $N$ pesquisadores e $N$ problemas tal que cada dois pesquisadores tem um só problema comum e cada dois problemas tem um só pesquisador comum.
11. [04.13] Notas, Moodle.
    • [14.1] Ações de grupos. $G$-conjuntos e morfismos deles.
    • [Prop 14.6] G-equivalência, órbitas.
    • Conjunto quociente $X/G$ para a ação $G:X$ dum grupo $G$ num conjunto $X$.
    • [Exem. 14.3 e exer. 9.4.44] Ação regular esquerda.
    • "Lema da Adrielle": no grupo $(ea)d = e(bd)$ se e só se $a=b$
    • O morfismo é injetivo se e só se o núcleo dele é trivial.
    • O teorema de Cayley: cada grupo é isomorfo a um subgrupo dum grupo de permutações.
    • Ação regular direita. Porque precisamos invertir.
    • Produto cartesiano (ou direito) de dois grupos.
    • Ação bidirecional.
    • Uma restrição da ação com respeito de homomorfismo.
    • [6.1] Órbitas da ação regular esquerda/direita são classes laterais direitas/esquerdas.
    • [Exem. 14.5] Ação direita no quociente esquerdo
    • [Exem. 14.4] Ação de conjugação (também conhecida como ação adjunta). Classes de conjugação. Classe de elemento neutro. Conjugação age aos automorfismos de grupo
    • Operações com $G$-conjuntos: $0=\emptyset$, $1=pt$, coproduto (união disjunta $X\coprod Y$), produto $X\times Y$.
    • Decomposição de $G$-conjunto numa união disjunta das órbitas.
    • [Prop. 14.10] Definição-Proposição: os estabilizadores são subgrupos.
12. [04.15] Notas, Moodle. Primeira hora - o resumo de "ea1.pdf" e do curso até deste ponto. Segunda hora:
    • Notações pra conjugação
    • Conjugação de elementos, de subconjuntos e de subgrupos
    • [10.1] Subgrupos normais.
    • Núcleos são subgrupos normais.
    • [Teorema 10.4] Grupo quociente. [10.1]
    • Lema: o subgrupo é normal se e só se ele é o núcleo de um homomorfismo.
    • Exemplo de subgrupo que não é normal.
    • Tipo cíclico de uma permutação (cyclic notation)
    • Morfismos de um grupo quociente.
    • [!11.2] Formulação dos Teoremas sobre Isomorfismo de Grupos
13. [04.20] sessão de Tiradentes Notas, Moodle.
    • Um comentário sobre as relações entre as notações, as definições e os teoremas. Quando usar ou não usar parenteses? Sobre Associatividade de operadores, exemplos na matemática e na programação.
    • Domínio booliano, Álgebra booliana, Funções boolianas, Anéis boolianos. As formas normais: disjuntiva, conjuntiva, algébrica (polinômios de Zhegalkin ou expressões de Reed-Muller).
    • Sobre mínimo multiplo comum: se definirmos como um mínimo com respeito de ordem normal, precisamos provar que ele é o divisor dos outros múltiplos. Se definirmos como um divisor de todos os multiplos, precisamos provar a existência.
    • Triângulo de Pascal, Tartaglia, Chu Shi-kié e Omar Caiam. Coeficientes binomiais e interpretação combinatórica: combinações sem repetição (subconjuntos). Relação de Stifel (regra de Pascal). O conjunto de subconjuntos de cardinalidade fixa num conjunto fixo. Binômio de Newton. Números $q$-binomiais de Gauss. O problema de analogia entres subconjuntos e subespaços. Álgebra, operadores e representações de Weyl-Heisenberg.
    • cf. Henry Cohn: Projective Geometry over 𝐹_1 and the Gaussian Binomial Coefficients, The American Mathematical Monthly, vol. 111, no. 6, June/July 2004, pp. 487-495.
14. [04.22] sessão de São Jorge Notas, Moodle. Soluções de problemas 1.23, 1.29, 2.31, 3.10.
    • Diferença entre o contradomínio e a imagem. Parece que rango ou posto as vezes pode designar um ou outra. Grafos das funções como as relações binárias. Relações funcionais e totais. Composição de relações binárias.
    • [ex. 1.23] Extenção de uma transformação de Möbius para reta projetiva.
    • Interpretação da reta projetiva real e das transformações de Möbius na planimetria euclidiana
    • [ex. 1.29] Espaços projetivos sobre as álgebras de divisão (corpos não necessariamente comutativos)
    • [ex. 2.31] A irracionalidade de raiz quadrada de dois
    • [ex. 3.10] Grupos de Heisenberg (!w: es, en)
15. [04.27] Parte 1: sobre a tradução de capítulos 6 e 21 de AATA por Vinicius, e a parte principal de capítulo 2 por mim. Como usar git para ver diferenças. Utilização de corretores ortográficos depois a tradução. Notas, Moodle.
    • [!] Definição: centro de um grupo, centralizador (!w: ca, it, fr, en) subgrupo central
    • [?] Computar o centro de grupo simétrico e de grupo de Heisenberg,
    • Lema: subgrupos centrais $H\subset C(G)$ são normais subgrupos de $G$
    • [!] Definição de A-módulos (esquerdos) sobre um anel A (não nec. comutativo), morfismos deles, exemplos.
    • [?] Formular e provar um análogo do teorema de Cayley para as K-álgebras sobre um corpo K e para os anéis (não necessariamente comutativos)
    • Módulos livres. Codificação de morfismos entre os módulos livres usando as matrizes $ν\times μ$ com coeficientes/elementos no anel $A$.
    • Anel de endomorfismos de um módulo sobre um anel.
    • Anel de matrizes inteiros $End(\mathbf{Z}^2$
    • [!] Centro de um anel (!w: ca, fr, en)
    • Matrizes escalares inversíveis é um subgrupo central
    • Grupo $PGL(n)$: o quociente de $GL(n)$ módulo o subgrupo das escalares
16. [04.29] Tradução de Capítulo 5 (Permutações) pela Maria Clara. Notas, Moodle.
    • Monoide de endomorfismos. Grupo multiplicativo de um monoide. Grupo de automorfismo. Exemplos: grupos simétricos e $GL(V)$.
    • Funções bilineares. (!w: ca, ea, it, fr, en) Exemplo: composição de transformações lineares, produto de matrizes.
    • Bônus: categorias preaditivas (ou Ab-categorias) !w: en
    • Anéis de endomorfismos nas categorias aditivas !w: en
    • [?] Exercício: construa um isomorfismo entre o anel $Mat(m\times m,Mat(n\times n,A))$ de matrizes sobre matrizes e o anel $Mat(mn\times mn, A)$ de matrizes de tamanho produto.
    • Grupo multiplicativo de anel (!w: it, en) Decomposição dos grupos multiplicativos dos reáis e dos complexos. Valor absoluto (módulo, norma), sinal, argumento, exponente e logaritmo como homomorfismos de grupos. Multiplicação por números complexos como homoterias e rotações do plano euclidiano.
    • [?] Exercício: provar que sobre um corpo cada matriz é igual a soma de matrizes inversíveis. Provar que a matriz no $GL(n,K)$ é central se e só se ela é escalar.
    • Grupo $PGL(n)$: o quociente de $GL(n)$ módulo o subgrupo (central) das escalares (!w: en)
    • Reta projetiva (cf. exercício 1.29 e aula 14)
    • planos projetivos e a ação de $PGL(3,k)$ no $\mathbf{P}^2(k)$
    • [!] Teorema de Lagrange relacionando cardinalidades do grupo, subgrupo e conjunto quociente.
    • Teorema sobre órbitas e estabilizadores.
    • Ações simplesmente transitivas
    • Computação (de Galois) das ordens dos grupos simétricos e dos grupos $GL(n,q)$ e $PGL(n,q)$
    • [!] Definição dos grupos simples
    • [?] Exercício: o grupo abeliano finito é simples se e só se a ordem dele é um primo
    • [!] Abelianização de um grupo. Definição usando morfismo universal $a:G\to A$. (!w en, grouppropsp)
    • [!] Subgrupo comutador $[G,G]$ e uma construção de abelianização como o morfismo quociente $G \to G/[G,G]$.
    • [?] Exercício: grupo simples não abeliano tem centro trivial.
    • [?] Exercício: grupo simples não abeliano tem abelianização trivial.
    • Grupo projetivo linear especial $PSL$ (!w en, groupprops)
    • [?] Exercício: computar as cardinalidades dos grupos matriciais finitos $SL(n,q)$ e $PSL(n,q)$
    • Formulaçao do teorema de Galois (1830): grupo $PSL(2,q)$ é simples por quase todos e $q$. Também $PSL(n,q)$ são simples para quase todos $n$ e $q$.
    • Isomorfismo entre o grupo $PSL(2,2)$ e o grupo simétrico $Σ(3)$. cf. isomorfismos excepcionais.
    • Porque grupo simétrico não é simples por $n>2$. Grupo alternativo $A_n\subset S_n$, o núcleo de morfismo sinal.
    • Formulação do teorema: grupo alternativo $A_n$ é simples por $n$ não igual ao $4$.
17. [05.04] Notas, Moodle.
    • PSL como quociente de SL e como subgrupo de PGL.
    • Subgrupo $nA$ no grupo abeliano $A$.
    • Teorema fundamental de aritmética como um teorema estrutural sobre o grupo multiplicativo dos números racionais. Valorações p-adicas.
    • Grupo quociente $K^*/(K^*)^n$, caso $K$ é um corpo $\mathbf{Q}$ dos números racionais.
    • Determinante como uma função $PGL(n,K) \to K^*/(K^*)^n$
    • [?] Exercício: se $H$ e $N$ são subgrupos normais de $G$, mostrar que $H\cap N$ é normal no $H$ e $H/H\cap N$ é um subgrupo normal de $G/N$.
    • Transformações de Möbius e composição deles, a ação na reta projetiva (cf. exercícios 1.23, 1.29 e aula 14), um isomorfismo do grupo $PGL(2,K)$ com o grupo das transformações de Möbius.
    • [?] Exercício: definir a ação transitiva do grupo $PGL(2,\mathbf{Z})$ na reta projetiva racional $\mathbf{P}^1(\mathbf{Q})$ e explicar como a transitividade desta ação é relacionado ao algoritmo de Euclides
    • O jogo de 15 (e o jogo de $9$), permutações, e o grupoide de 16.
    • Número de desordens (inversões en)) e a paridade / o sinal de uma permutação.
    • [!] Definição de categoria e de grupoide
    • Jogo de 12 no $\mathbf{P}^2(\mathbf{Z}/3)$ e o grupoide $M_{13}$ de Conway (Mathieu groupoid)
    • Definição de grupo de Mathieu $M_{12}$
    • Sobre um problema de G2 - automorfismo externo do grupo simétrico $Σ(6)$ e relacionamento com uma construção de grupo de Mathieu $M_{12}$.
    • Sobre outro problema de G2 - reticulado de Leech (!w: fr, en) e grupos de Conway $Co_0$, $Co_1$ (!w: fr, en).
    • Bônus: formulações do teorema de Feit-Thompson (!w: ca, fr, en) e da classificação dos grupos simples finitos
    • Bônus: Os 26 grupos esporádicos (!w: https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_esporádico, en): 6 párias X familia feliz de três gerações: 5 de Mathieu, 7 de Leech/Conway, 8 de geração de grupo monstro de Fischer-Griess.
    • Bônus: Monstrous moonshine (+en) de Conway-Norton e o problema de Jack Daniels de Ogg.
18. [05.06] ea1.html (feito de ea1.tex usando pandoc), Notas, Moodle.
    • Bônus: René Descartes. Discurso sobre o método para bem conduzir a razão na busca da verdade dentro da ciência (+!w). Uma aplicação matemática do método ("filosófico"): A geometria.
    • Planimetria euclidiana: sintética (Euclides) X analítica (Descartes). Plano catrtesiano como um modelo completo do plano euclidiano.
    • Teoria dos grupos: "analítica" (Galois) X sintética (Cayley). O papel do teorema de Cayley.
    • Espaços métricos. Isometrias formam um grupo. Grupo euclideano.
    • Formas bilineares simétricos. Grupos ortogonais. O, SO, PO, PSO.
    • Formas bilineares antissimétricos. Grupos simpléticos (!w: ca, fr, en). Sp, PSp.
    • Formas sesquilineares e hermitianas (!w: en), matrizes hermitianas e anti-hermitianas, conjugado transposto Operadores unitários, matrizies unitárias, grupos unitários U, SU, PU, PSU
    • Grupos clássicos em senso de Hermann Weyl (!w: ca, en)
    • Isometrias euclidianos: Translações, rotações, reflexões.
    • Bandeiras (!w: flags). Ação simplesmente transitivo das isometrias nas (?) marcos ortonormais (!w: orthonormal frame).
    • Isometrias das figuras.
    • Polígonos regulares e raizes da unidade nos números complexos. Grupo diedral
    • Plano de Argand-Gauss (plano complexo). Isometrias e dilatações/homotetias euclidianas usando números complexos.
    • Descrição dos problemas da lista adicional.
19. [05.11] ea1.html (feito de ea1.tex usando pandoc), Notas, Moodle.
    • Corpos não comutativos
    • [AATA: exem. 16.7] Quatérnios de Hamilton
    • Anel dos quaternios inteiros de Lipschitz
    • [AATA: exem. 16.12]Racionais de Gauss e Inteiros de Gauss
    • Racionais de Eisenstein e Inteiros de Eisenstein
    • Norma, conjugação, inverso, parte real e parte imaginária. Anel oposto, anti-(iso)morfismos e anti-involuções de anéis.
    • Somas de dois quadrados são iguais às normas de inteiros de Gauss
    • Somas de quatro quadrados são iguais às normas de inteiros de Lipschitz
    • Produto das normas é norma do produto
    • Identidades de Diofanto-Brahmagupta-Fibonacci (!w: es, en): $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2$, $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$.
    • [?] Exercício: provar as identidades de Brahmagupta, $(a^2+nb^2)(c^2+nd^2) = (ac-nbd)^2 + n (ad+bc)^2$, $(a^2+nb^2)(c^2+nd^2) = (ac+nbd)^2 + n (ad-bc)^2$.
    • Identidade dos quatro quadrdos de Euler (!w: ea, en)
    • Fatoração dos polinômios com raízes nos anéis comutativos. Lema: se $P(a)=0$ existe $Q$ tal que $P = (x-a) Q$. Demonstração: provar o caso $a=0$ e usar a substituição $x\mapsto y+a$ como um isomorfismo dos anéis de polinômios $A[x] \to A[y]$.
    • Anel de polinômios sobre um domínio é também um domínio.
    • Lema: número das raízes de um polinómio em um domínio (comutativo) é ao máximo grau dele.
    • Resíduos quadraticos. Símbolo de Legendre.
    • Lema de Lagrange: por cada primo $p$ existem inteiros $x,y$ tais que $1+x^2+y^2$ é divisível por $p$
    • [!] Formulação do teorema: cada subgrupo finito no grupo multiplicativo de corpo é cíclico. Logaritmo discreto. [gp: znprimroot, znlog, znorder] (+">demonstração)
    • Corolário: números de forma 4k+3 não são somas de dois quadrados
    • Corolário: a existência das raízes de (-1) modulo os primos de forma 4k+1.
    • Partes inteiro e parte fracionaria dos racionais de Gauss
    • Divisão com resto pelos inteiros de Gauss
    • Corolário: qualquer ideal (finitamente gerado) dos inteiros de Gauss pode ser gerado por um só elemento. Análogos de máximo divisor comum e do lema de Bachet-Bezout.
    • Teorema "natalino" de Fermat sobre da soma de dois quadrados. (!w: gl, es, ca, en) (+demonstrações)
    • Formulação do teorema de Fermat-Lagrange: toda número natural é soma de quatro quadrados de inteiros
20. [05.13] Notas, Moodle.
    • Ideais esquerdos, direitos e bidirecionais.
    • Ideal gerado por subconjunto de anel. Ideais finitamente geradas. Soma dos ideais.
    • [!] Domínios de ideais principais (anéis fatoraveis).
    • [!] Anéis euclideanos (anéis munídos com função de norma e divisão com resto)
    • Relação entre algoritmo de Euclides, ação de $\GL(2,A)$ no $A^2$, e teorema de Bachet-Bezout. Frações contínuos.
    • Euclidianidade dos anéis de inteiros, inteiros de Gauss e de Eisenstein
    • [?] Provar euclidianidade de anel de inteiros de Eisenstein e dos anéis de polinômios univariaveis sobre um corpo.
    • [!AATA: Teorema 18.21] Todo domínio euclideano é um domínio de ideais principais
    • [?] Provar que $Z[\sqrt(-3)]$ e quatérnios de Lipschitz não são domínios de ideais principais.
    • $Z[\sqrt(-3)]$ contra inteiros de Eisenstein Z[(-1+\sqrt(-3))/2].
    • Grupos de quatérnios $Q_8$ (!w: en) e $Q_{24}$.
    • Octaedro e icositetracoro (24-cell) es, it, fr, en).
    • Quatérnios inteiros de Hurwitz (!w: es, en).
    • Divisão com resto pelos quatérnios de Hurwitz
    • Corolário: cada ideal (finitamente gerado) (direito ou esquerdo) de anel dos quatérnios de Hurwitz é gerado por um elemento. Análogo de máximo divisor comum e do teorema de Bachet-Bezout pelos quatérnios de Hurwitz.
    • Formulação da classificação de Schläfli dos sólidos platónicos em todas dimenções.
    
    maio 14: O último dia da submissão das soluções de G1.
21. [05.18] Notas, Moodle.
    • Mosaico de Dirichlet também conhecido como diagrama de Voronoy ou domínio fundamental. Caso geral de ação de um grupo no espaço métrico pelas isometrias, e caso especial de ação no espaço vetorial de um subgrupo (reticulado) de translações.
    • $24$-cell como um domínio fundamental para ação de quaternios de Hurwitz pelas translações.
    • Lema: pelo qualquer quatérnio de Hurwitz $z$ existe quaternio de Hurwitz inversível $w$ tal que o produto $zw$ é um quatérnio de Lipschitz.
    • Fim da demonstração do teorema de Fermat-Lagrange. (+lembrança de todos os passos, primeiros 80 minutos)
    • Teorema (tipo Cayley): qualquer álgebra sobre um corpo de dimensão finita é um subálgebra de álgebra de matrizes.
    • As ações de álgebra (resp. grupo) dos (bi-)quatérnios (resp. não nulus) nos espaços euclideanos de dimensão 4 e 3.
    • Grupo Spin(3) = SU(2) = quatérnios unitários H_1.
    • Extensão central duplo $H_1 \times H_1 \to SO(4,\mathbf{R})$.
    • Extensão central duplo $H_1 \to SO(3,\mathbf{R})$.
    • Subgrupos finitos de SL(2,C), SU(2), SL(3,R), rotações SO(3,R), quatérnios.
    • Grupos de tetraedro/cubo/icosaedro binários. (!w binary tetrahedral group, binary octahedral group, binary icosahedral group).
    • Relação entre estes grupos finitos e sólidos platónicos nas dimensões 3 e 4.
    • Tetraedro e icositetracoro (24-cell) es, it, fr, en).
    • Icosaedro e dodecaedro, hecatonicosacoro (120-cell) (!w: es, ca, it, fr, en) e hexacosicoro (600-cell) (!w: , it, fr, en).
22. [05.20] Notas, Moodle. Entre os tópicos básicos nessa aula discutimos teoremas fundamentais sobre morfismos de anéis e ideais (resp. Capítulo 16 de AATA). Também cf. Capítulo 13.1 (estrutura de grupos abelianos finitos).
    • Fim da demonstração do teorema natalino de Fermat sobre somas de dois quadrados.
    • Ordem dos elementos no grupo multiplicativo. [gp: znorder]
    • Lema+Exercício: existência dos $(e,f)$ t.q. $ord(x^e y^f) = mmc(ord(x), ord(y))$.
    • Uma demonstração de teorema: cada subgrupo finito no grupo multiplicativo de corpo é cíclico. [gp: znprimroot] Cf. aula 19 para algumas aplicações.
    • Lema: (-1) é quadrado módulo primos de forma $p = 4k+1$
    • [?] Exercício: (-2) é quadrado módulo primos de forma $p = 8k+3$
    • Formulação de forma normal de Smith (!w: ca, en).
    • [AATA: Teorema 13.4] Formulação da classificação de grupos abelianos finitos (resp. finitamente gerados AATA: Teorema 13.10)
    • Bônus: formulação da classificação dos módulos finitamente gerados sobre domínios de ideais principais
    • [AATA: 16.2] Epimorfismos de anéis. Núcleos. Ideais. Anéis quociente.
    • [?] Exercício: qualquer anel comutativo é um quociente de um anel de polinómios com coeficientes inteiros.
    • [AATA: Teorema 16.31] Primeiro teorema sobre morfismo $ψ: A\to B$ de aneis: $Im ψ = A / Ker ψ$.
    • Números de Gauss (ex.: de Eisenstein) como o quociente do anel de polinómios.
    • Morfismos de anel quociente.
    • [AATA: Teorema 16.34] Correspondência entre os ideais do anel quociente A/I e os ideais do anel A que contem o ideal original I.
    • [AATA: Teorema 16.33] Terceiro teorema sobre morfismos de anéis: se $J$ é um subideal do ideal $I$ no anél $A$ temos $(A/J)/(I/J) = A/I$
    • [AATA 16.2] Domínios X corpos.
    • [AATA 16.4] Ideais primos X ideais maximais.
    • Porque problema de fatoração do número primo em inteiros de Gauss é equivalente ao problema de redutibilidade de polinômio x^2+1 modulo primo.
    
    maio 21: data final de G1
23. [05.25] Notas, Moodle.
    • Parte 1 : revisão dos teoremas sobre homomorfismos de grupos, anéis e módulos. [AATA:11.2 e 16.3]
    • Caracteristica de anel.
    • Morfismo de Frobenius
    • Pequena teorema de Fermat
    • Grupo multiplicativo de resíduos e teorema de Euler
    • Teorema de Wilson e condição de primalidade baseada nele (de tempo exponencial)
    • Condição de primalidade baseada nos teoremas de Euler e Fermat
    • Probas de Fermat-Euler de primalidade que usam tempo polinomial
    • Lema: cado resíduo é uma raiz de unidade. (e a prova sem uso de pequeno teorema de Fermat).
    • Formulação do teorema de Agrawal-Kayal-Saxena (2002): PRIMES is in P
    • Logaritmo discreto
    • A ideia de criptografia com chave aberta
24. [05.27] Notas, Moodle.
    • Como construir os números inteiros usando os números naturais, jeitos alternativos
    • Quais deles podem ser generalizados, e como
    • [!] Ideia importante: definições usando propriedades universais X definições usando modelos, como combinar as duas perspectivas complementares
    • Grupo de Grothendieck K(M) de um monoide M. Caso de monoide comutativo cancelativo.
    • Como construir os racionais usando os inteiros.
    • [AATA:18.1]Corpo de frações de domínio de integridade, 2 propriedades e construção.
    • Corpo de frações de subanel de um corpo: construção de frações X consideração de subcorpo gerado por subanel
    • [?] Exercício: construir os corpos de frações (para/como) os seguintes anéis: números racionais, funções racionais, corpos numéricos, corpos funcionais. Frações de números de Gauss, Eisenstein, Z[2i],Z[x],etc.
    • [?] Problema: como definir o corpo de frações de anel não comutativo tal que podemos identificat o corpo de frações dos quatérnios de Hurwitz?
25. [06.01] Notas, Moodle.
    • Operações com ideais: produto, interseção, soma infinita
    • Reticulados. Reticulados boolianos e as leis de De Morgan. [cf. AATA:19]
    • Cadeias crescentes dos ideais, ascendentes e descendentes
    • ACC/DCC: as condições de (estabilização de) cadeias ascendentes/descendentes
    • Anéis de Emmy Noether: os que gozam ACC
    • Exemplo de um anel não noetheriano (reusando a construção de anel livre): o anel de polinômios de infinitos variáveis $x_1, x_2,...$
    • Teorema: os domínios dos ideais principais satisfazem ACC
    • Lema: um quociente de um anel nötheriano é nötheriano também.
    • [!] Teorema: o anel de polinômios A[x] sobre um anel nötheriano é nötheriano também.
    • Corolário: os anéis finitamente gerados são nötherianos.
    • Teorema de Hilbert sobre a base.
    • Divisibilidade e fatorações no linguagem dos ideais principais
    • Anéis de Emil Artin: os que gozam DCC
    • Anéis de series de Taylor sobre um corpo ou sobre um outro anel: classificação dos elementos invertíveis e todos os ideais (usando valoração)
    • Exemplos de DIP não artinianos: inteiros, polinômios
    • Exemplo: anéis finitos são artinianos
    • Exemplo: álgebras de dimensão finita são anéis artinianos
    • [?*] Exercício: dar um exemplo de domínio de ideais principais, que não é euclideano
26. [06.08] Formulação dos problemas de G2 (envie no Moodle). Notas, Moodle.
    • Formulação de teorema de Cauchy: o grupo finito tem elementos de ordens iguais ao todos os divisores primos.
    • Grupos abelianos finitos e teorema chinês do resto
    • Submódulos, módulos quocientes, módulos cíclicos, geradores e relações, módulos finitamente gerados, módulos de torção.
    • Geradores e relações dos módulos.
    • Módulos finitamente gerados e finitamente representados - conúcleos de morfismos de módulos finitamente gerados livres
    • Forma normal de Smith (!w: ca, en). [ gp: matsnf ]
    • Ideais de Fitting (!w: en).
    • Exercício: usando transformações elementares trocar [3,0;0,4] para [1,0;0,12]
    • Classificação dos módulos finitamente gerados sobre domínios de ideais principais (e.g. sobre inteiros) (!w: en)
    • Corolário 1: classificação de grupos abelianos finitamente gerados
    • Corolário 2: forma normal de Jordan
    • [?] Exercício: derive forma normal de Frobenius (!w: en).
27. [06.10] Notas, Moodle.
    • Decomposições/fatorações de polinômios
    • Irreducibilidade de polinomios X divisores de zero no anel quociente.
    • Polígono de Newton
    • Soma de Minkowski dos polígonos
    • Critério de Eisenstein
    • Conteudo de polinômio. Lema de Gauss.
    • [?!] Provar que A[x] tem fatoração única se A tem.
    • Formulação dos Teoremas de Sylow, aplicações
    • Teorema de Cauchy
    • Grupos de ordem pq
    • Classificação dos grupos de ordens 15 e 21
    • [?] Exercício: classificar grupos de ordem ao máximo 15
    • Produto semidireto
    • Grupos de tranças, relações de Artin (aba = bab), ações
    • Bônus: teorema de Andrei A. Markov Jr. sobre tranças e nós: (!w: en)
    • Bônus: Andrei A. Markov pai e Andrei A. Markov filho.
    • Bônus: Equação e números de Andrei Markov pai (!w: it, en)
28. [06.15]
    • Contagem de órbitas e um lema que não é de Burnside ou Pólya, mas sim de Cauchy e Frobenius
    • Lembrança: centro, centralizadores, classes de conjugação
    • Grupos finitos: formula de classes e suas aplicações
    • Corolário: p-grupos têm centro não trivial
    • Classificação dos grupos das ordens $p^2$ e $p^3$.
    • Teorema de Wedderburn: cada anel de divisão finito é um corpo comutativo
    • Extensões de grupos
    • Seções de morfismos e complementos de subgrupos
    • Produto semidireto
    • Extensões centrais
    • Lembrança: grupos de Heisenberg (!w: en). Cf. aula 14 e exercício 3.10 @ AATA.
    • Bônus (só formulações):
      • grupos solvíveis (solúveis),
      • teorema de P.Hall sobre complementos, [cf. teorema de Schur-Zassenhaus],
      • Lembrança da fim da aula 17: teorema de Feit-Thompson, classificação dos grupos simples finitos
    • Series de composição en, teorema de Jordan-Hölder.
    • Construção de polinômios irredutíveis
    • [gp: factor]
    • Uma demonstração de irredutibilidade de $Φ_p(x) = (x^p-1)/(x-1)$ em Z[x] por $p$ primo.
    • Exercício: classificar todas subálgebras dos quatérnios de Hamilton
    • Bônus: Construção de Cayley-Dickson.
    • Bônus: octónios e o plano de Fano $\mathbf{P}^2(\mathbf{Z}/2)$.
    • Bônus: Identidade de Degen de 8 quadrados (!w: it, fr, en).
29. [06.17]
    • Produto tensorial
    • Poderes tensoriais
    • Ação de grupo simétrico $Σ(n)$ no poder tensorial $V^{\otimes n}$.
    • Invariantes e coinvariantes.
    • Tensores simétricos.
    • Tensores antissimétricos.
    • Bônus: Dualidade de Schur-Weyl. Módulos de Schpecht.
    • Álgebra de Grassman (álgebra externa) en
    • Álgebra de Clifford e grupo Spin en
    
    junho 22 - julho 8: graus finais
30. [06.22]
    • Formas quadráticas binárias
    • As órbitas da ação do grupo $GL(2,\mathbf{Z})$ no conjunto das formas quadráticas binárias inteiras
    • Finitude das número de órbitas com discriminante fixo (usando ação de $SL(2,Z)$ no plano superior)
    • Composição de Gauss de formas quadráticas binárias sobre inteiros com discriminante fixo (!w: en).
    • Bônus: cubo de Bhargava (!w: en)
    • Grupo de classes de ideais
31. [06.24]
    • Resíduos quadráticos, símbolo de Legendre (2 definições), símbolo de Jacobi.
    • A lei da reciprocidade quadrática e as suas demonstrações.
32. [06.29]
    • Representações complexas dos grupos finitos.
    • Media e uma construção de uma métrica hermitiana invariante.
    • Álgebra de um grupo.
    • Representação de grupo é um representação de álgebra de grupo.
    • Decomposição de álgebra de um grupo em soma dos álgebras matriciais.
    • Centro de álgebra de um grupo
33. [07.01] Álgebra computacional. Complexidade das computações.
    • Teste de primalidade AKS (Agrawal-Kayal-Saxena,2002: "PRIMES is in P").
    
    julho 1: O último dia da submissão das soluções de G2.
34. [07.06] Aplicação 1. Teoria de códigos. Os códigos da detecção e correção de erros. Bônus: Código de Golay ternário.
35. [07.08] Aplicação 2. a Criptigrafía de chave aberta.
    julho 8: fim das graus finais