Paradoxo de Richard

[Paulo Santa Rita <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Olá Bruno, !

Gödel admite explicitamente que a sua argumentação é modelada por uma das 
mais conhecidas antinomias logicas, o paradoxo de Richard. Este paradoxo,  
proposto pelo matemático Jules Richard em 1905, pode ser enunciado como 
segue:

1) imagine que todas as propriedades dos numeros cardinais são enunciadas 
num idioma qualquer.( ex portugues )
2) Ordene estas propriedades da menos extensa (com menos letras, ) para a 
mais extensas ( com mais letras)
3) Se duas ou mais propriedades tem a mesma extensão, adote a classificação 
alfabetica

Assim, fica associado um númeor a cada propriedade. Se o numero associado a 
uma determinada propriedade tiver ele mesmo esta propriedade, dizemos que o 
número é "Não  Richardiano"; se o número associado a uma determindade 
propriedade não tiver ele mesmo esta propriedade, dizemos que o número "É 
Richardiano" .

Ex: Suponhamos, por exemplo, que "Não ser divisivel por nenhum número  a não 
ser por si mesmo e pela unidade" seja a 17 propriedade. Como 17 é, ele 
mesmo, primo, dizemos que 17 não é Richardiano. Se, porem, 17 estivesse 
associado a propriedade "ser divisível por 5" e, claramente, 17 não é 
divisivel por 5, então 17 seria Richardiano.

Aqui entra o fundamental. A propriedade "ser richardiano" pode ser associado 
a todo número, vale dizer, ou um numero é richardiano ou não richardiano. 
Assim, a propriedade pertence a lista que construimos com os passos 1), 2), 
3). Seja N o numero associado a esta propriedade.  Pergunda : N é 
Richardiano ? Claramente, N será richardiano se, e somente se,  N tem a 
propriedade de ser Richardiano !!!!!!!!!!!

Este paradoxo, como muitos outros paradoxos lógicos, é em verdade um 
engodo... Uma hipotese implicita em nosso raciocinio é que enumerariamos 
"propriedades aritmeticas". Ser Richardiano não é uma propriedade 
aritmética, mas meta-aritmetica, por falar sobre propriedades e não numeros 
e suas relações, daí o paradoxo.

O que Godel percebeu foi que se pudesse evitar o embuste implicito no 
paradoxo de Richard ele poderia falar de propriedades de numeros usando 
números.  E então tudo ficaria muito mais fácil. Nisso consistiu sua idéia 
básica. O que acima aparece como "N é Richardiano ou não", na prova de Godel 
surgira como "A aritmética é consistente".

A outra parte do trabalho de Godel não foi genial, foi apenas inteligente e 
dependente de cultura, vale dizer, ele conseguiu formular um mapeamente das 
propriedades aritmeticas que escapa ao embuste intrinseco ao paradoxo 
richardiano. O resto é facil.

É importante assinalar que muitas pessoas tem uma visão errada do que Godel 
realmente provou.  Ele não provou, a principio, que a consistencia da 
aritmetica jamais sera demonstrada: mostrou que esta  possibilidade é 
altamente improvável. Mostrou que com os recursos internos do sistema é 
impossivel provar a consistencia, vale dizer, precisariamos lançar mão de 
principios externos cuja validade seria tão dubia quanto a propria 
consistencia. Por outro lado, muitos esquecem que consistencia , no modelo 
de Godel , esta diretamente associada a completeza: Um sistema formal é 
completo se todas as afirmações sobre os seus objetos puderem ser provados 
com os metodos de inferencia do proprio sistema. No quadro de Godel, se a 
aritmetica fosse consistente, ela seria incompleta e, se fosse completa, 
seria inconsistente.

Existe muitos bons livros de divulgação sobre esse tema. Posso citar, de 
cabeça, os seguintes: "A prova de Godel", de James Newman - editora 
perspectiva. "O teorema de Godel e a hipotese do contnuo", fundação 
Karlousse Gubergian. Não conheço tradução do 2, mas o primeiro existe em 
portugues.

Noto que temas relacionados a logica tem despertado muito interesse nos 
frequentadores desta lista. Existe muitos temas relacionados de interesse. 
Vou citar alguns:

Tese de Church : "A todo procedimento efetivo (algoritmo) corresponde uma 
maquina de turing"

Este principio é muito importante porque o numero de evidencias que o 
corroboram é muito grande. Num determinado sentido é como se estivessemos 
falando que toda atividade mecanica pode ser mapeada numa entidade abstrada, 
a maquina de turing. Segue, a priori, que se mostramos que não existe uma 
maquina de turing que descreva um determinado processo então jamais 
encontraremos um algoritmo que descreva tal processo. Sera que estes 
procedimentos são as atividades que, há muitos anos, os filosofos chamam de 
atividades "dialeticas" ? Sera que aqui se começa a vislumbrar a verdadeira 
"humanidade" do homem, vale dizer, aquilo que poderemos fazer e em que não 
poderemos ser substituidos pelas maquinas ? São questões interessantes !
por outro lado, 90% das atividades humanas ( funçoes rotineiras e 
operacionais - pense na atividade de um advogado .... !!!!) são algoritmicas 
ou podem ser algoritmizadas.

Deixo para os mestres que frequentam esta sala falar um pouco sobre os 
conceitos correlatos de "numero computavel", " maquina de turing universal e 
os computadores modernos"  etc Tenho certeza que a turma vai gostar muito de 
saber sobre estes temas.

Alguem já ouviu falar sobre o jogo "vida" ? E sobre os resultados das 
pesquisas em "vida artificial" ?

Um forte abraço
Paulo Santa Rita
1,2002,200699




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>Reply-To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>To: <obm-rj@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Kurt Gödel
>Date: Sun, 29 Aug 1999 21:53:03 -0300

>Qual o paradoxo de Richard?
>
><Bruno>


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