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Re:



Pedro Henrique Calais,
 
        Há uma maneira algébrica de se resolver este problema através de proporções para quaisquer que sejam os valores. Demonstrarei após resolvê-lo de uma maneira mais simples.
 
Primeira Solução
 
        Como ambos minérios produzem a mesma quantidade do segundo mineral por kg, isto é, 5 g de mineral, e nos é pedido uma produção total de 95 g deste, podemos dizer que a soma da massa dos minérios será 95/5, ou seja 19 kg. Considerando a massa do primeiro minério como M, e a do segundo como N, em kg, temos:
 
I) M + N = 19
 
        Sabendo que o quanto ambos minérios produzem do primeiro mineral por kg, e o total pedido deste mineral, podemos solucionar o problema facilmente. Observe:
 
II) 3M + 4N = 72
 
        Utilizando-se do método de solução de sistemas, denominado adição, obteremos os valores de M e N, ou seja, as massas do primeiro e do segundo minério em kg. Para isto, basta, primeiramente, multiplicar a primeira sentença por -3. (Poderia ser utilizada qualquer operação que mantivesse o valor da sentença e facilitasse a resolução. Esta, para mim, é a melhor maneira.) Assim, obtemos:
 
I) - 3M - 3N = - 57
 
III) 3M + 4N + ( - 3M - 3N) = 72 + ( - 57)            (Adição de I e II)
 
III) N = 15 kg
 
        Substituindo N na primeira sentença, obtemos M.
 
IV) M + 15 = 19
 
IV) M = 4 kg
 
 
        Aí está o problema solucionado. Serão necessários 4 kg de Minério I e 15 kg de Minério II, para obtermos 72 g de mineral x e 95 g de mineral y.
 
 
Segunda Solução
 
        Denominando a quantidade de minério I em kg de M e a quantidade de minério II também em kg de N, a quantidade do mineral x em g de x e a quantidade do mineral y em g de y, poderemos resolver o problema. Porém, devemos diferenciar a quantidade de minerais provindas de cada minério. Definiremos cada uma com as respectivas variáveis:
x' - quantidade de mineral x provinda do minério I
x'' - quantidade de mineral x provinda do minério II
y' - quantidade de mineral y provinda do minério I
y'' - quantidade de mineral y provinda do minério II
 
        Podemos estabelecer as seguintes proporções:
 
I) x'/3 = y'/5 = M
 
II) x''/4 = y''/5 = N
 
        Estabeleceremos também o que nos é pedido e informado.
 
III) x = x' + x'' = 72
 
IV) y = y' + y'' = 95
 
        Desenvolvendo I e II, e substituindo-os em III, obtemos:
 
I) x' = (3/5) . y'
 
II) x'' = (4/5) . y''
 
III) x = (3/5) . y' + (4/5) . y'' = 72
 
        Note que assim como x' e x'', y' e y'' são incógnitas de valor algébrico diferente, e portanto, não podem ser somadas. Observe que as sentenças III e IV formam um sistema de duas variáveis, y' e y''. Solucionando-o, obteremos rapidamente os valores de M e N. Multiplicarei III por 5 e IV por -3.
 
III) 3y' + 4y'' = 360
 
IV) - 3y' - 3y'' = - 285
 
V) 3y' + 4y'' + ( - 3y' - 3y'') = 360 + ( - 285)
 
V) y'' = 75
 
        A partir da sentença V, podemos encontrar y', substituindo-a em IV. A partir dos valores de y' e y'' encontrados, substituiremos estes em I e II, encontrado, desta forma, os valores de M e N.
 
VI) y' + 75 = 95
 
VI) y' = 20
 
I) M = 20/5 = 4
 
II) N = 75/5 = 15
 
        Os mesmos valores encontrados na primeira solução, foram encontrados na segunda.
 
Thadeu Lima de Souza Cascardo