Re: resposta ao texto em World

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 12 Mar 1999 Mauro_Fernando/rjo_oh@promon.com.br wrote:

> Bom dia!
> Estou enviando as questões conforme solicitado e informo que já recebi  
> minha confirmação de inscrição do majordomo.
> Questão 5.
> Prove, por indução, que 12+22+...+n2 = n(n+1)(2n+1).
>                                                                        6
> 
> Questão 15.
> Demonstre que 1- 1 + 1 - 1 +..+  1  -   1  =  1  +   1  +...+  1    .   
>                               2    3   4      199  200   101   102       
>  200
> 

Antes de mais nada, voce *ainda nao estah inscrito no grupo obm-rj*.
Provavelmente voce nao leu bem a mensagem que recebeu; ela exigia
resposta. Minha sugestao era de que voce mandasse seus problemas nao para
mim e sim para obm-rj: outras pessoas podem interessar-se pelos problemas
ou querer responder. Alias, seu texto chegou ilegivel, mas acho que dah
para adivinhar os enunciados e corrigi-los:

Q5: 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

O enunciado que voce mandou estava errado.

Eh facil verificar a formula para n=1,2,3 (digamos).
Para a inducao, devemos provar que

1^2 + 2^2 + ... + n^2 + (n+1)^2 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6

dado que

 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Substituindo os n primeiros termos do somatorio usando esta identidade
devemos provar que

n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)^2 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6

o que é uma conta trivial, basta expandir os dois lados.

Q15: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/199 - 1/200 =
     1/101 + 1/102 + ... + 1/200.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/199 - 1/200 =

(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/199 + 1/200) - 2*(1/2 + 1/4 + ... + 1/200) =

(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/199 + 1/200) - (1 + 1/2 + ... + 1/100) =

1/101 + 1/102 + ... + 1/200