Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aplicações Lineares

["Josiah Willard Gibbs" <the.old.gibbs@xxxxxxxxx>]

Alamir:

 

Quando você escreveu: " Problema: Verifique se a aplicação f(x,y,z)=(y,z,0) em R3 é linear" era possível supor que a aplicação, se linear, transformaria o terno de reais (x,y,z) de R3 no terno de reais (y,z,0) de R3. Em termos geometricos, no R3, essa aplicação seria uma transformação linear que levaria o ponto de coordenadas P=(x,y,z) ao ponto P' (do mesmo R3) de coordenadas P'=(x'=y,y'=z,z'=0). Em relação à base canônica do R3, a matriz 3x3 que pode representar essa transformação, efetuando um mapeamento, é a que citei no email anterior.

Note que essa aplicação é degenerada porque os pontos (do espaço) de R3 são transformados em pontos do plano coordenado xy (a terceira coordenada, z', é sempre nula). Isto, de fato, está patente na matriz, pois seu determinante é nulo. 

Ouras considerações geométricas poderiam ser feitas, mas não vou cança-lo com isso.

 

A Álgebra Linear é de uma amplitude magnifica, mas é preciso traduzir essas aplicações simples ou elementares para que o seu entendimento fique mais ao alcançe de todos. Para alguns pode existir mais "poesia" num mapeamento do R3 no R3 do que um mapeamento do Rp no Rq; especialmente para os neófitos.

 

Por exemplo: em relação à base canônica do R3, uma matriz simétrica não degenerada pode representar uma aplicação linear dos pontos de uma superfície esférica centrada na origem e raio igual a 1 em pontos de uma quádrica. Você poderia descobrir um caminho que pudesse predizer que tipo de quádrica seria essa?

 

Eis ai um belo problema simples, mas cheio de sabedoria e utilidades práticas imediatas.

 

Cordiais saudações.

 

JWG  

 

2008/6/18 Rafael Ando <rafael.ando@xxxxxxxxx>:

Na realidade, a aplicacao eh linear sim... para verificar se uma aplicacao f(x) eh linear, temos que verificar que para todo a pertencente ao corpo, e x e y pertencentes ao espaco, f(ax+y) = a.f(x) + f(y). Ou, alternativamente, se vc preferir, f(x+y) = f(x) + f(y) e f(ax) = af(x).

 

No caso da sua aplicacao, temos (copiando de um email anterior):

 

  u=(x,y,z)
  v=(a,b,c)  e t real.

 f(u+tv)=f(x+ta,y+tb,z+tc)=(y+tb,z+tc,0)=(y,z,0)+(tb,tc,0)
     =(y,z,0)+t(b,c,0)
     =f(u)+tf(v)

Quanto ao que vc escreveu, nao entendi como vc tentou representar sua aplicacao.... A representacao de uma transformada linear de R3 em R3 seria uma matriz 3x3, que teria portanto 9 termos... Usando a base tradicional (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), a matriz seria:

 

[0 1 0

 0 0 1

 0 0 0]

 

Espero ter podido ajudar... se ainda estiver com duvida eh soh perguntar :)
 

On 6/18/08, alamirrodrigues@xxxxxxxxxx <alamirrodrigues@xxxxxxxxxx> wrote:

Problema: Verifique se a aplicação f(x,y,z)=(y,z,0) em R3 é linear.

Gostaria de saber a opiniao de alguem a respeito da minha solucao:

Representacao linear: a1x1 + a2x2 + a3x3 = b

logo:

a1*(y) + a2*(z) + a3*0 = b

a1y + a2z = b

Resposta: A aplicacao nao pode ser representada em R3, portanto nao eh linear.

Em 10/06/2008 07:55, alamirrodrigues@xxxxxxxxxx   escreveu:

Verifique se a aplicação f(x,y,z)=(y,z,0) em R3 é linear. ========================================================================= Instru絥s para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================

========================================================================= Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================

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Rafael