Re: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo doido

["Rafael Ando" <rafael.ando@xxxxxxxxx>]

Bom, eu fiz assim:

Seja B o ponto (0,0) e C o ponto (xc,0), xc>0. Então temos as seguintes equaçoes de retas:

BA : y = x * tg(60)
BP : y = x * tg(40)
CA : y = (x-xc). tg(100)
CP : y = (x-xc). tg(110)

(angulos em graus)

Fazendo as intersecções podemos achar as coordenadas dos pontos A e P:

Ponto A: 

xa*tg60 = (xa - xc)*tg100 ==> xa = xc*tg100 / (tg100 - tg60)
ya = xa*tg60

Ponto P:

xp tg40 = (xp-xc) tg110, ==> xp = xc*tg110 / (tg110 - tg40)
yp = xp*tg40.

O angulo procurado é a inclinaçao da reta AP. A resposta do problema é 90º, pois xa = xp. Isso poderia ser verificado com uma calculadora científica, ou poderiamos provar da seguinte maneira:

Queremos provar que xa = xp, o que é o mesmo que provar que tg100*tg40 = tg110*tg60.
Talvez tenha alguma maneira bem evidente de mostrar isso, mas nao encontrei nenhuma que não use identidades trigonométricas... vejamos, queremos mostrar que:

tg100*tg40 - tg110*tg60 = 0
ou seja, tg100 . tg40 + tg70 . sqrt(3) = 0.
Abrindo tg100 = tg(40+60) e tg70 = tg(40+30), e escrevendo tg40 como t, encontramos uma expressão com denominador (1-sqrt(3)*t)(1-t/sqrt(3)) e numerador  (que queremos provar que é igual a 0):

3t-t^3-3sqrt3*t^2 + sqrt(3).

Lembrando a fórmula de tangente de 3x: tg(3x) = (3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2). Para x = 40º:

(3t - t^3) / (1 - 3t^2) = tg(120) = - sqrt(3) ==> 3t-t^3-3sqrt3*t^2 + sqrt(3) = 0.

Bom, então é isso, a resposta é 90º...

2008/5/17 Ruy Oliveira <ruyhigh@xxxxxxxxxxxx>:

Olá Ponce...desculpe a falha....é <DBC=40 graus. No lado AB, marca-se um ponto F...




--- Em sex, 16/5/08, Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx> escreveu:

> De: Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>
> Assunto: Re: [obm-l] ângulo doido
> Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> Data: Sexta-feira, 16 de Maio de 2008, 19:57

> Ola' Ruy,
> corrija o enunciado, por favor - do jeito que esta' nao
> tem jeito...
> []'s
> Rogerio Ponce
>
> 2008/5/16 Ruy Oliveira <ruyhigh@xxxxxxxxxxxx>:
> >
> > Esse problema quase me deixou louco...se alguém
> conseguir resolver,  agradeço antecipadamente...
> >  Seja um um triângulo ABC. No lado Ac, marca-se um
> ponto D tal que o segmento BD divide o ângulo B que é de
> 60 graus em <ABD=20 Graus e <ABC=40 Graus. No lado
> AC, marca-se um ponto F tal que o ângulo C que é de 80
> graus fica dividido em <FCD=10 graus e <FCB=70 graus.
> Seja P o ponto de intersecção entre os segmentos BD e CF.
> Traçando-se o segmento AS, S pertencente ao lado BC e
> sabendo-se que AS contém P, determine x=<ASC.
> >    Ruy
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Rafael