Ralph e Bruno,
Puxão de orelha devidamente compreendido e aceito. É isso que dá não
ler com atenção antes de falar... E realmente quando mandei aquela
mensagem a penúltima resposta do Ralph ainda não tinha chegado no meu
inbox (embora isto não sirva como desculpa para a minha "burrada" :-) ).
Bernardo,
Sim, já ouvi falar de funções holomórficas (ou analíticas), e seu
comentário é interessante, embora a análise que o Ralph fez (e o
Bruno "destrinchou" ) não necessite de tudo isto.
Ojesed,
Ainda não tenho certeza se o método de Cardano seria aplicável
diretamente se este fosse um polinômio, digamenos, menos
bem-comportado. Mas, como já disse, a abordagem do Ralph tornou tudo
isto desnecessário.
Resumo da ópera, para encerrar esta thread:
- O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) vale para polinômios de
variável complexa, então P(x) tem 3 raízes (reais ou complexas,
contando as multiplicidades);
- Se k=0, P(x) tem três raízes reais: x1=-1, x2=-3 e x3=-5;
- Qualquer que seja k>0, P(-2)=-3 e P(-4)=3;
- Restringindo x a pertencer a R, a análise do comportamento do
sinal de P(x) mostra que, para qualquer k>0, as três raízes de P(x)
são sempre reais, uma no intervalo (-inf,-2), outra no intervalo
(-2,-4) e a terceira no intervalo (-4,+inf). Portanto, pelo TFA, estas
são as únicas raízes possíveis para P(x);
- Se r é uma das raízes de P(x) para um dado k, então
Q(r)=[(r+1)(r+3)(r+5)]/[(r+2)(r+4)]=-k. Então r só pode existir onde
Q(r)<=0;
- Analisando o comportamento do sinal de Q(r) obtemos o lugar
geométrico procurado, que é: {x pertencente a R tal que x<=-5 ou
-4<x<=-3 ou -2<x<=-1}.
[ ]'s
Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou
transliterar
um pouco o enunciado.
Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real
positivo.
Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0
para todos os valores possíveis de k.
Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que
implica
que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em
função
de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as
expressões parecem intratáveis.
Alguma outra idéia?
J. R. Smolka
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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