Re: [obm-l] GUARDA-CHUVAS

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

A resposta curta eh: 5! maneiras possiveis de distribuir, e C(5,3) maneiras "favoraveis" de exatamente 3 receberem corretamente. Entao p=C(5,3)/5!=1/12. Mas, para justificar isso direitinho, serei prolixo, porque, com combinatoria e probabilidade, todo cuidado eh pouco. :)

 

Uma distribuicao de guarda-chuvas eh basicamente uma permutacao dos numeros de 1 a 5. Algumas possiveis distribuicoes seriam:

 

12345 (Todo mundo recebe o guarda-chuva que lhe pertencia)

12534 (Apenas os visitantes 1 e 2 recebem seus guarda-chuvas; a pessoa 3 recebe o guarda-chuva da 5, a pessoa 4 recebe o da 3, e a pessoa 5 recebe o da 4)

15342 (1, 3 e 4 recebem seus guarda-chuvas, os outros dois estao trocados)

 

Entao temos 5!=120 maneiras de distribuir os guarda-chuvas, todas igualmente provaveis (assim eh que interpreto o "ao acaso" do enunciado).

 

Agora, em quantas destas temos exatamente 3 pessoas recebendo seus guarda-chuvas originais? Para descobrir uma destas possibilidades, precisamos (e BASTA!) escolher 3 pessoas para receberem os guarda-chuvas originais (as outras 2 terao que receber os guarda-chuvas trocados) -- note que eh soh isso mesmo:

 

i) Escolhidas 3 pessoas, soh tem um jeito de distribuir os 5 guarda-chuvas de maneira "favoravel" (isto eh, para que soh estas 3 recebam o certo; afinal, as outras 2 tem de receber guarda-chuvas trocados entre si, e soh tem um jeito disso acontecer); por exemplo, se escolhermos "1, 3 e 4" temos apenas a distribuicao 15342, e nenhuma outra;

ii) Distribuidos os 5 guarda-chuvas do jeito do enunciado (com apenas 3 recebendo corretamente), ha apenas uma maneira de determinar as 3 que receberam certo; por exemplo, de 15342, temos a escolha "1, 3 e 4", e nenhuma outra.

 

Entao eu conto C(5,3)=5!/(3!2!) maneiras igualmente provaveis do nosso evento acontecer, dentre 5! totais igualmente provaveis. A probabilidade eh 1/(3!2!) = 1/12.

 

Abraco,

     Ralph

 

P.S.: Por este mesmo raciocinio, se fossem N guarda-chuvas, a probabilidade de exatamente m receberem os guarda-chuvas corretos eh C(N,m).D(N-m) / N! = D(N-m)/(m!(N-m)!), onde D(x) eh o numero de desarrumacoes (permutacoes caoticas) de x elementos. Entao o Pedro Barboza tem razao... mas, no problema do Arkon, N-m=2, e eh facil ver que D(2)=1 (soh tem um jeito de "desarrumar" dois elementos), entao nao foi necessario entrar a fundo nas permutacoes caoticas.

 

2008/5/9 pedro barboza <eusoupedrosoueu@xxxxxxxxxxx>:

a solução eh por permutação caótica



 

---

Date: Thu, 8 May 2008 11:05:20 -0300
Subject: [obm-l] GUARDA-CHUVAS
From: arkon@xxxxxxxxxx
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

Pessoal, alguém se habilita

 

(ENAD) Ao entrar em casa de amigos, cinco pessoas deixam seus guarda-chuvas com a dona da casa. Quando as pessoas resolvem pedi-los de volta para sair, a dona da casa constata que todos eles são aparentemente iguais, e resolve distribuí-los ao acaso. Qual a probabilidade de que exatamente três pessoas recebam cada uma o seu próprio guarda-chuva?

 

(A) 1/12.        (B) 1/6.          (C) 1/4.          (D) 1/3.        (E) 5/12.

 

GABARITO: LETRA A

---

Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu!