Re: [obm-l] Sobre a Soma!!!

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

Para 8a serie, acho que o jeito eh o seguinte:

 

a) Calcule S = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + (111...111)

Note que 10S =    10 + 110 + 1110 + .... + (111...110) + (111...1110)

(Marque com chave por baixo que aqueles termos finais tem n-1 e n digitos 1, respectivamente)

 

Subtraindo a segunda menos a primeira, fica:

9S = -1 -1 -1 -1... -1 +(111...1110) = 111...1110 - n

Agora 111...1110 = 999...9990/9 = (10^(n+1)-10)/9

 

Assim, 9S = (10^(n+1)-10)/9 - n, e entao S = (10^(n+1)-10-9n)/81.

 

b) Calcule A= 1 + 22 + 333 + 4444 + ... +n(111....111)

Mesmo truque: 10A =  10 + 220 + 3330 + ... +(n-1)(111....110) + n(111...1110)

 

Subtraindo: 9A = -1 -12 -113 -1114 -11115... -(111....11110+n) + n(111...1110) 

Agora eh mais dificil -- a gente tem que separar os "1s" do resto:

 

9A = n(111...1110) - (10+110+...+(111...11110)) - (1+2+3+...+n)   (aquele -1 inicial veio parar no segundo termo)

O primeiro termo eh n.(10^(n+1)-10) / 9, de novo;

O segundo termo eh 10 vezes a soma S do item anterior;

O terceiro termo eh n(n+1)/2 (use soma dos termos da P.A., ou use o truque de Gauss para mostrar isto para eles)

Substitua tudo, agora o resto eh contalhada feiosa.

 

Abraco,

      Ralph

 

2008/4/9 Pedro Júnior <pedromatematico06@xxxxxxxxx>:

Olá Saulo...

Rapaz vc não sabe oque aconteceu sobre tal continha...

Estava resolvendo algumas questões de somas e produtos com alguns alunos, na minha lista de exercícios tem o seguinte problema:

encontre a soma: 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + (111...1)
onde (111...1) tem exatamente n dígitos, probleminha clássico encontrado nos livros da mir e outros mais, bom só que na minha lista havia colocado tudo quanto é questão que encontrei na net a respeito de somas e produtos, e um deles é exatamente esse

1 + 22 + 333 + 4444 + ... + n(111...1) = ?

só que lista que apanhei na net não tem a resolução e inicialmente achei muito simples. Rapaz quando comecei a ver de perto o que acabara de colocar no quadro, meu amigo, nada de chegar a um resultado fechado, assim como no problema anterior, então fiquei e ainda estou, vi sua resolução, mas teve uma passagem que falou em derivada, e estou ministrando aula para crianças de 8º ano, 1º ano  e 2º anos, daí mais uma dificuldade.

bom vou continuar tentando, espero ter sorte de encontrar uma expressão mais simples que seja equivalente.

Abraços e muito obrigado.

Pedro Jr