[obm-l] Exercicios de Analise 3

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Seguem mais alguns Exercicios de Analise. Estou colocando mais de um
numa mesma mensagem porque eles, por enquanto, estao bastante simples.
Vou fazendo como diversao mental nas horas livres. O livro em
referencia e :

Curso de Analise, Vol 1, 11 edicao, 2 impressao, Projeto Euclides, IMPA,
Autor : Prof Elon Lages Lima

( EXERCICIO 4.6 )

Dado um E > 0

Como LIM Xn = a, existe N0 tal que n > N0  => | Xn – a | < E/2.
Igualmente, como LIM(Xn-Yn) = 0, existe N1 tal que n > N1 => | Xn – Yn
– 0 | < E/2. Vemos portanto que se tomarmos, por exemplo, N2=max{ N0,
N1 }, para todo n > N2 ambas as desigualdades anteriores ficarao
satisfeitas. Adotando este N2 e somando as desigualdades, teremos :

n > N2 => | Xn – a | + | Xn – Yn | < E/2  +  E/2
n > N2 => | Xn – a | + | Xn – Yn | < E   <=>   | Xn – a | + | Yn – Xn |  < E

Pela desigualdade dos modulos, sabemos que | A+B | =< | A | + | B |.
Aplicando este desigualdade na ultima conclusao acima :

n > N2 => | Xn – a + Yn – Xn | < E
n > N2 => | Yn – a | < E

Assim, para um E > 0 qualquer dado, sempre podemos exibir um natural
N2 tal que sempre que n > N2 => | Yn – a | < E. Isto estabelece que
LIM Yn = a, como queriamos demonstrar.

( EXERCICIO 4.7 )

Dado um E > 0

De a # 0 concluimos que | a | > 0. Daqui sai que ( E / | a | ) > 0.
Como LIM Yn/a = 1,  existe um N0 tal que n > N0   =>   | Yn/a  -  1 |
<  E / | a |    =>   | (Yn – a ) / a | < E / |a|  => |Yn – a | / | a |
 <  E / | a |  => | Yn – a | < E.  Assim, para um E > 0 qualquer dado,
sempre podemos exibir um N0 tal que n > N0 => |Yn – a | < E. Isto
estabelece que LIM Yn = a, como queriamos demonstrar.

(EXERCICIO 4.8 )

Considere a sequencia Zn = 1. E claro que LIM Zn = 1. Como b # 0, das
propriedades aritmeticas dos limites segue que LIM ( Zn / (Xn/Yn) ) =
1 / b = LIM (Yn / Xn ). Destas mesmas propriedades segue que LIM ( Xn
* ( Yn / Xn) ) = a / b = LIM Yn, como queriamos demonstrar.

( EXERCICIO 4.9 )

Considere a sequencia Zn = 1. E claro que LIM Zn = 1. Como a # 0, das
propriedades aritmeticas dos limites segue que LIM (Zn / Xn ) = 1 / a
= LIM (1 / Xn ). Destas mesmas propriedades segue que LIM ( (1 /
Xn)*(XnYn) ) = (1 / a)*b = b / a  = LIM Yn, como queriamos demonstrar.


( EXERCICIO 4.10 )

Sejam A e B reais positivos tais que A =< B. Usando as propriedades
dos numeros reais, é facil provar que para todo natural N teremos A^(1
/ N) =< B^(1 / N). Aplicando este resultado a desigualdade " a =< Xn
=< n^K ",  seguira :

a^(1/N) =< (Xn)^(1/N) =< (n^K)^(1/N)   =>   a^(1/N) =< (Xn)^(1/N) =<
(n^(1/N) )^K

No livro do Prof Elon que estamos considerando aqui, na parte teorica,
esta provado que LIM a^(1/N) = LIM n^(1/N) = 1. De LIM n^(1/N) = 1 e
facil concluir que LIM (n^(1/N))^K=1.

Portanto :

a^(1/N) =< (Xn)^(1/N) =< (n^(1/N) )^K   e    LIM a^(1/N) = LIM ( n^(1/N) )^K = 1

Do Teorema do Confronto ( Teorema do Sandwich ) segue que LIM
(Xn)^(1/N) = 1, como queriamos demonstrar.

( EXERCICIO 4.11 )

Calculando as medias geometrica (G), aritmetica (A) e usando G =< A :

(1 – (1/N))^(N / (N+1) ) =< ( N / (N + 1) )
(1 – (1/N))^(N / (N+1) ) =< ( 1 – ( 1/(N+1) ) )
(1 – (1/N))^N  =<  ( 1 – ( 1/(N+1) ) )^(N+1)

Este ultimo resultado mostra que Xn = (1 – (1/N) )^N e crescente. Para
n=2 temos que X2=1/4. Logo Xn = (1 – (1/N) )^N  >= 1/4 para todo n >=
2.

( EXERCICIO 4.11a )

Xn*Yn=((1+(1/N))^N)*((1 – (1/(N+1)))^(N+1))
Xn*Yn = (((N+1)/N)^N)*((N/(N+1))^(N+1)) = (((N+1)/N)^N)*((N/(N+1))^N)*(N/(N+1))
Xn*Yn = ((((N+1)/N)*(N/(N+1)))^N)*(N/(N+1)) = (1^N)*(N/(N+1)) =N/(N+1)
LIM Xn*Yn = LIM N/(N+1) = 1

Como LIM Xn=e entao LIM (1/Xn) = 1/e. Logo : LIM Yn= LIM (1/Xn)*LIM(Xn*Yn) = 1/e


Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,0A1A,020408

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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