[obm-l] Exercicios de Analise 1

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Pessoal !
( vou escrever sem acentos )

O Livro que tenho aqui na minha mesa e o "Curso de Analise, Vol 1,
Elon Lages Lima, Projeto Euclides, IMPA, 11 edicao, segunda
impressao". Considero-o excelente, em verdade, a melhor introducao a
Analise feita por um brasileiro. O enunciado das questoes voces
deverao encontrar nele.

Nao sei se vou conseguir completar este trabalho. As questoes, voces
verao, sao simples, mas eu tenho muitas outras ocupacoes que poderao
criar dificuldades no prosseguindo da solucoes.As solucoes sao minhas,
quero dizer, todos os erros que surgirem sao de minha inteira e
exclusiva responsabilidade e voces podem ( e devem ) me corrigir.

Nao vou abordar aqui os capitulos 1, 2 e 3. Eles sao muito importantes
e vou usar sistematicamente o conhecimente neles transmitido, mas a
Analise comeca realmente no capitulo 4, sequencias e series de numeros
reais.

Os primeiros exercicios, em geral, sao altamente triviais e, portanto,
vou fazer mais de um numa mesma mensagem.

Eu vou fazendo as questoes conforme vou lendo. Vou tentar publicar ao
menos uma mensagem a cada 2 dias. Em geral, e facil ver mais de uma
maneira de fazer cada questao, mas sempre vou optar por aquela que me
parece mais facil de entender, mesmo que essa solucao mais facil nao
seja a mais sintetica ou/e a mais bela.






"Tornai-me a aparecer, entes imaginários,
que me enchíeis outrora os olhos visionários !
Poder-vos-ei fixar ? ... Tenho inda coração
capaz de se render à vossa sedução ? ... "
( FAUSTO, de Goeth )

( EXERCICIO 4.1 )

Se lim Xn = a entao, dado um E > 0 qualquer, mesmo que muito pequeno,
por definicao teremos que :

Existe um natural N0 tal que para todo natural n > N0  =>  | Xn - a |
< E. Como, devido a propriedade dos modulos, | |Xn| - |a| | =< | Xn -
a | segue, com mais forte razao, que para todo n > N0 => | |Xn| - |a|
| < E, isto e, para todo E > 0 dado, existe N0 tal para todo n > N0
teremos que | |Xn| - |a| | < E, vale dizer, lim | Xn | = | a |, como
queriamos demonstrar.

Para mostrar a falsidade da afirmacao reciproca, tomemos como
contra-exemplo a sequencia definida por :

 Xn = (1 - N) / N

Teremos, sucessivamente
lim |Xn| = lim| (1 - N)/N | = lim| (N-1)/N | = lim (1-N)/N =  -1 = | 1 |.
Assim, lim | Xn | = | 1 |. Mas : lim Xn = lim (1-N)/N = -1.

No caso em que a=0 vale a afirmacao reciproca, isto e, lim |Xn| = |0|
=> lim Xn = 0. Para  ver isso claramente, seja lim |Xn| = | 0 |= 0.
Entao,  dado um E>0 qualquer, mesmo que muito pequeno :

Existe um natural N0 tal que n > N0 => | |Xn| - |0| | < E . Daqui
seque : | |Xn| - |0| | < E =>
| |Xn| - 0 | < E => || Xn|| < E  => | Xn| < E  => | Xn - 0 | < E => lim Xn = 0




( EXERCICIO 4.2 )

Como lim Xn = 0 entao, dado E > 0 qualquer ;

Existe um natural N0 tal que para todo n > N0 => | Xn - 0| < E, isto
e, |Xn| < E. Mas, por definicao, Yn = min{ |X1|, |X2|, ..., |Xn| },
vale dizer, Yn e real nao negativo e Yn =< | Xn | para todo "n"
natural, ou seja, | Yn | < | Xn | para todo "n" natural. Como |Xn| < E
 para todo n > N0 entao entao  |Yn| < E para todo n > N0 => |Yn - 0 |
< E para todo n > N0 => lim Yn = 0.




( EXERCICIO 4.3 )

Suponha que nao fosse lim Xn = a. O que significa dizer isso ?
Significa o seguinte :

Existe um E > 0 tal que para todo N0 fixado existe n > N0 tal que | Xn
- a | >= E

Tomemos um tal E > 0 e fixemo-nos nos indices n > N0 que sao pares.
Isto significa que existe um E > 0 tal que para todo N0 fixado existe
n par > N0 tal que |Xn - a| >= E. Isto significa que lim X2n nao e
"a", isto e, lim X2n # a ... ABSURDO !

Assim, nao pode ser lim Xn # a, vale dizer, lim Xn = a como queriamos
demonstrar.




A todos, com os melhores
votos de Paz Profunda, sou
Paulo Santa Rita
5,0830,1B0308

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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