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Re: [obm-l] Álgebra Linear

Olá Rafael,
vou colocar algumas idéias que tive que podem ser usadas para induzir sobre n.

Sejam a1, a2, ... an, a(n+1) pertencentes ao R^n. Escolhendo-se n pontos, conseguimos passar por eles um hiperplano (acho que é assim que se chama) contido no R^(n-1). O problema no R^(n-1) já está resolvido (hipótese de indução), e existe somente 1 configuração para que esses pontos se eqüidistem. Portanto, já posicionamos n pontos. Falta apenas posicionarmos o (n+1)-ésimo ponto.
Para isso, traçamos as mediatrizes dos pontos já posicionados tomados 2 a 2. Essas mediatrizes se encontram em uma reta, que é onde será posicionado o (n+1)-ésimo ponto. Para isso, basta encontrar o ponto desta reta de modo que a distância o (n+1)-ésimo ponto para os demais é igual a distância os n pontos.
Com isso, provamos que é possível posicionarmos n+1 pontos de forma eqüidistante no R^n. Falta provarmos que esse é o limite, isto é, que não conseguimos posicionar nenhum outro ponto. Acho que isso pode ser mostrado do seguinte modo:
Vamos tentar posicionar um novo ponto. Então, ele tem que pertencer ao encontro das mediatrizes dos n+1 pontos. Mas, desta vez, o encontro das mediatrizes resulta em 1 ponto. Deste modo, o (n+2)-ésimo ponto possui um local já estabelecido. De fato, ele está eqüidistante de todos os outros pontos, MAS a distância dele para os demais não é igual à distância entre os n+1 pontos.

Não sei se fui claro, vou colocar um exemplo no R^3, usando R^2.
Temos a1, a2, a3, a4 pertencentes ao R^3. Por três pontos passa um plano que está contido em R^2. No R^2, sabemos que a solução é o triângulo eqüilátero. Logo, a1, a2 e a3 vão formar um triângulo eqüilátero. Falta sabermos onde entra a4. A mediatriz do segmento a1a2 é um plano. Do mesmo modo, a mediatriz dos segmentos a1a3 e a2a3 são planos. A intersecção destes planos é uma reta (na qual pertence o circuncentro do triângulo formado por a1, a2 e a3). O ponto a4 pertence a esta reta, mas onde? No ponto, tal que a distância dele para os demais é igual a distância entre a1 e a2 (ou a1 e a3, ou a2 e a3).
Pronto! Conseguimos colocar os 4 pontos. Vamos tentar colocar um quinto. Para isso, vamos traçar novamente as mediatrizes. Desta vez, o encontro delas é um único ponto (a saber, o centro da esfera que passa pelos pontos a1, a2, a3, a4). De fato, posicionando o quinto ponto neste local, fará dele eqüidistante dos demais. Porém, essa distância não é igual a distância entre a1 e a2 (ou a1 e a3, ou a1 e a4, ou a2 e a3, ...). De fato, o raio da esfera que passa pelos pontos de um tetraedro regular não é igual ao lado do tetraedro.
Deste modo, não é possível colocar um quinto ponto, e o limite são 4 pontos para o R^3.

Note que, além de mostrarmos que o máximo de pontos em R^n é n+1, também mostramos como encontrar a posição de cada ponto.

Sobre a demonstração, ainda faltam ser demonstradas algumas afirmações feitas durante o desenvolvimento.
Mas acredito que esse é o caminho.

abraços,
Salhab




On Jan 6, 2008 10:14 AM, rafael marinii <marinirfsilva16@xxxxxxxxxxx> wrote:
Ei, alguém pode me ajudar, é um probleminha bem simples, a solução deve ser bem tranquila, mas eu sou bem pemba em Álgebra Linear ... eh o seguinte :
O maior número de pontos no R² eqüidistantes é 3 (trivial).
No R³ também é trivial, 4. Agora como que eu provo que pra Rn vou ter no máximo n+1 pontos eqüidistantes ?
 
valeu
rafael marini

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