Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas

["Rogerio Ponce" <abrlwsky@xxxxxxxxx>]

Ola' Rodrigo,
nao e' variacao da mesma suposicao.

O que o Renji fez foi supor que o termo geral da Fibo pudesse ter a
forma de uma combinacao linear de "b^n" . Baseado nesse "pseudo chute"
(nao e' chute: mais adiante o Renji deduziu isso, usando uma tecnica
de equacoes de diferencas), ele chegou aos valores necessarios para
que  o termo geral fosse verdadeiro.

Ja' com o termo geral na mao, fica facil calcular a relacao entre 2
termos consecutivos, e ver que ela converge para o tal limite.

O assunto a ser dominado e'  Equacoes de Diferencas Finitas.

[]'s
Rogerio Ponce




Em 28/11/07, Rodrigo Cientista<rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx> escreveu:
> Entendi, é uma variação da mesma suposição: suponha que para n suficientemente grande, as razões a_n/a_(n-1), a_(n+1)/a_n, a_(n+2)/a_(n+1)... guardem uma mesma proporção, chamada phi, o que significa que para achar o termo seguinte multiplicamos o antecedente por phi, já que a_n/a_(n-1)=phi ==> a_n=phi*a_(n-1), isto implica uma sequência phi, phi^2, phi^3,...,phi^n, daí sua formulação, eu a entendi !
>
> Minha dúvida, acho que é mais uma questão de lógica, é: você chegou ao valor do limite SUPONDO q ele exista, quando você não sabe a priori se ele existe ou não.
>
> em outras palavras: supor que ele exista, e em decorrência disso achar um valor definido para ele, faz PROVA de sua existência?
>
> ou ainda de outra forma: supor a existência de algo em matemática, a partir dessa suposição chegar a uma certa conclusão (algo=x) sem contradições, faz prova da veracidade? se a suposição fosse falsa necessariamente eu acharia uma contradição?
>
> é que eu construí uma prova sem usar nenhuma suposição de existência, apenas a partir da definição f(n+2)=f(n+1)+f(n), o que é "dado"... mas acho q foi um furo de lógica da minha parte não ter seguido o caminho menos braçal (inexperiência com provas lógicas)
>
> abraços
>
> ----- Mensagem original ----
> De: Rodrigo Renji <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>
> Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 21:15:57
> Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas
>
> Rodrigo, você esta falando da forma geral dos termos da sequência de fibonacci?
> se for ela pode ser deduzida assim
> a sequencia de fibonacci satizfas a recorrencia
> f(n+2)=f(n+1)+f(n)
> com condições iniciais f(0)=1=f(1) (ou f(1)=f(2)=1)
>
> um meio é chutar uma solução do tipo f(n)=b^n
> ficando com
> b^(n+2)=b^(n+1)+b^(n)
> b^n .b² =b^n. b + b^n, queremos b^n diferente de zero
> dai temos
> b²=b+1
> b²-b-1=0
> então b=[1+ou -raiz(5)]/2
>
> logo as soluções ficam
> f(n)=c1.b1^n +c2.b2^n, onde b1 e b2 são as soluções da equação do
> segundo grau acima c1 e c2 são constantes que devem ser determinadas
> pelas condições iniciais da recorrencia, que no caso seriam
> f(0)=1=f(1), tendo essas informações se chega na formula geral da
> sequencia de fibonacci
>
> tenho outro meio de chegar na mesma resposta usando operadores Delta
> vou definir assim
> Df(n)=f(n+1)-f(n) e o operador expansão Ef(n)=f(n+1)
> E²f(n)=f(n+2)
> é possivel fazer o seguinte
> f(n+2)=f(n+1)+f(n)
> E²f(n)=Ef(n)+f(n)
> (E²-E-1)f(n)=0
> que pode ser fatorado
> (E-b1)(E-b2)f(n)=0
> as soluções são f(n)=c1.b1^n+c2.b2^n
> pois os operadores (E-b1)(E-b2), ZERAM esse tipo de função
>
> abraços
>
>
>
> Em 28/11/07, Rodrigo Cientista<rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx> escreveu:
> > Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1)
> >
> > Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça!
> >
> > Supondo que o limite existe, ele é igual a phi, mas eu não sei se ele existe, então não entendi como usar a suposição da sua existência na prova de sua própria existência. Eu não deveria, por exemplo, supor que ele não existe e identificar a contradição decorrente dessa suposição (uma forma de prova)? Eu nunca tinha visto a fórmula que você apresentou... chegou-se a essa fórmula sem supor a existência do limite?
> >
> > Me perdôe se a pergunta é tôla, sou apenas um amador...
> >
> > Aguardo comentários
> >
> >
> >
> > > Não entendi.
> > >
> > > A seq de Fibo tende para +infinito então ela diverge (trivialmente).
> > >
> > > Pela sua mensagem suspeito que você esteja querendo provar que existe
> > > o limite lim a_(n+1)/a_n.
> > > Se for isso, segue facilmente da fórmula
> > >
> > > a_n = A phi^n + B phib^n
> > >
> > > onde phi = (1+sqrt(5))/2, phib = (1-sqrt(5))/2.
> > >
> > > Como phi > 1 e -1 < phib < 0 temos lim a_n/(A phi^n) = lim ( 1 +
> > > (B/A)*(phib/phi)^n ) = 1 desde que A seja diferente de 0.
> > > Assim  lim a_(n+1)/a_n = lim (A phi^(n+1))/(A phi^n) = phi.
> > >
> > > On Nov 27, 2007 9:58 PM, Rodrigo Cientista
> > > <rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx> wrote:
> > > > Alguém conheceria uma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...)
> > > >
> > > > Dei uma prova de convergência "feia"  a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra)
> > > >
> > > > Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência
> > > >
> > > > ***seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n--> infinito, an/an-1 --> L
> > > >
> > > > na verdade, no limite an/an-1 = L,  como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an ==>  L = 1 + 1/L ==> L^2 - L - 1 = 0 ==> L = (1 +ou- 5^1/2)/2,
> > > >
> > > > desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria < 1)
> > > >
> > > > Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência mais bonita... (a minha é muito grande pra esse espaço)
> > > >
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