RE: [obm-l] identidade binomial Mathematics Magazine June 2007 p. 225

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda¸c~oes, 

Retomo uma velha mensagem. 

Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225 
deparei-me com a identidade 

\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}
\binom{2n-2k}{n-k} = \delta_{n,0} .

Ela aparece como corolário de uma longa exposição.

Tentando prová-la, seja

S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}
\binom{2n-2k}{n-k} .

Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por

F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}

Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:

S_n =  [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
 \sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} }

Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.

Falta provar que  [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
Dá pra fazer isso?

[]'s,
Luis

Dá sim. Escreva

F(x) =  (1-x) \sum_{k\geq 0}  C_k (x(1-x))^k

onde $C_k$ é o k-ésimo número de Catalan (NC). 

Tendo em vista a função geratriz dos NC, 

F(x) = (1-x) \frac{1-\sqrt{1 – 4x(1-x)}}{2x(1-x)} =
\frac{1-(1-2x)}{2x} = 1.

Na dedução acima teve a passagem 1 – 4x(1-x) = (1-2x)^2. 

Logo, S_0=1 e S_n=0 para n\geq1. 

[]'s 
Luís 

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