Re: [obm-l] Expansão de termos -proposta de problema

["Henrique Rennó" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

On 10/27/07, Rodrigo Renji <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> wrote:
> Tente encontrar uma formula para os coeficientes da potência que
> aparecem na expansão de
>
> x(x-1)(x-2). ... (x-n)
>
> i.e
> x=x
> x(x-1)=x²-x
>
> x(x-1)(x-2)=x³-3x+2x
>
>
> x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4 -6x³+11x²-6x
>
> etc...
> (a fórmula existe, é uma recorrência de duas variáveis)

Considerando n = 2 e n = 3.

Sejam os coeficientes a1, a2, a3 para n = 2 e a1, a2, a3, a4 para n = 3.

n = 2: a1 = 2, a2 = -3, a3 = 1
n = 3; a1 = -6, a2 = 11, a3 = -6, a4 = 1

Vemos que x(x-1)(x-2)(x-3), quando n = 3, é o mesmo que (x^3 - 3x^2 + 2x)(x-3)

O coeficiente a2 de x^2 para n = 2 é -3 e para n = 3 será esse -3
multiplicado pelo -3 de (x-3), não alterando o termo x^2, mais o valor
de a1 para n = 2, que multiplica x em (x-3), tornando-se um termo x^2.

O novo coeficiente de um termo é a multiplicação desse por -n mais o
coeficiente do termo anterior.

Assim pode-se definir a relação recursiva onde a_n,k = -n*a_n-1,k +
a_n-1,k-1, onde a_0,1 = 1, a_0,k = 0 para k=1..n+1 e a_m,0 = 0 para m
= 0..n

-- 
Henrique

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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