Re: [obm-l] desigualdade triangular

["fernandobarcel" <fernandobarcel@xxxxxxxxxx>]

Oi lista,
essa demonstração do Rogerio Ponce é tão simples que não sei como não pensei nisso antes.

A questão era: Prove que |b-c| < a < |b+c|

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Considere o triangulo de vertices A,B,C, com lados opostos a,b,c, respectivamente.
Se b>=c, temos que b<a+c , pois "O menor caminho entre 2 pontos (A,C) e' o segmento de reta (b) que os une."
Portanto, b-c<a , ou seja,
|b-c|<a
E se b<c, temos que c<a+b (pelo principio acima), de modo que c-b<a , ou seja,
|b-c|<a
Assim, e' sempre verdade que |b-c|<a

Pelo mesmo principio, o menor caminho entre B e C e' o segmento BC, ou seja, b+c>a , de onde
|b+c|>a

Simples, ne'?
[]'s
Rogerio Ponce



---------- Início da mensagem original -----------

      De: "Rogerio Ponce" rogerioponce-obm@xxxxxxxxxxxx
    Para: "fernandobarcel" fernandobarcel@xxxxxxxxxx
      Cc: 
    Data: Sat, 20 Oct 2007 23:08:24 -0300 (ART)
 Assunto: Re: Duvida

> Ola' Fernando,
> considere o triangulo de vertices A,B,C, com lados opostos a,b,c, respectivamente.
> 
> A lei dos cosenos nos diz que
> a**2 = b**2 + c**2 - 2*b*c*cos(A)
> 
> Calculando o valor de cos(A), obtemos:
> cos(A)= ( b**2 + c**2 - a**2 ) / (-2bc)
> 
> Mas cos(A) > -1 , logo
> b**2 + c**2 - a**2 > 2bc
> (b-c)**2 > a**2
> |b-c| > a
> 
> Tambem cos(A) < 1 , logo
> b**2 + c**2 - a**2 < -2bc
> (b+c)**2 < a**2
> |b+c| < a
> 
> Entendeu?
> []'s
> Rogerio Ponce
> 
> PS: tem uma forma mais simples de deduzir a mesma coisa.
> Se b>=c, temos que b<a+c , pois "O menor caminho entre 2 pontos (A,C) e' o segmento de reta (b) que os une."
> Portanto, b-c<a , ou seja,
> |b-c|<a
> E se b<c, temos que c<a+b (pelo principio acima), de modo que c-b<a , ou seja,
> |b-c|<a
> Assim, e' sempre verdade que |b-c|<a
> 
> Pelo mesmo principio, o menor caminho entre B e C e' o segmento BC, ou seja, b+c>a , de onde
> |b+c|>a
> 
> Simples, ne'?
> []'s
> Rogerio Ponce
> 
> 
> 
> 
> fernandobarcel <fernandobarcel@xxxxxxxxxx> escreveu: 
> Oi Rogerio,
> você poderia fazer o favor de me dizer o que foi que o Luís fez?
> Eu não entendi direito.
> Muito obrigado.
> 
> -------------------------------
> [obm-l] desigualdade triangular
> Luís Lopes
> Fri, 19 Oct 2007 11:07:48 -0700
> 
> Sauda¸c~oes,
> 
> Hah algum tempo pediram para demonstrar que
> |b-c| < a < |b+c| .
> 
> Usando o resultado -1 < cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc < 1
> vem:
> 
> -2bc < b^2 + c^2 - a^2 < 2bc  (bc > 0)b^2 + c^2 - 2bc < a^2 < b^2 + c^2
> +2bc(b-c)^2 < a^2 < (b+c)^2
> |b-c| < a < |b+c| qed
> 
> []'s
> Luìs
> 



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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