Re: [obm-l] Convergência/divergência de sére

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 02, 2007 at 06:43:47PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
> On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> > O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de
> > 
> > Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ?
> 
> A série diverge.

Naquela outra mensagem mandei uma solução correta porém nem elementar
nem autocontida. Vou tentar desta vez dar uma solução elementar e 
autocontida.

Lema:

Para todo n vale a desigualdade abaixo:

sin((n-1)^2) + sin(n^2) + sin((n+1)^2) > -3 + C, C = 10^(-4).

Obs: Este não é nem de longe a melhor estimativa para C.

Dem:

Suponha por absurdo o contrário. Temos

sin((n-1)^2), sin(n^2), sin((n+1)^2) < -1+C

Seja D = arccos(1-C) < 2*10^(-2).

Temos

 2 k1 pi - D < (n-1)^2 - 3 pi/2 < 2 k1 pi + D    (I)
 2 k2 pi - D <     n^2 - 3 pi/2 < 2 k2 pi + D    (II)
 2 k3 pi - D < (n+1)^2 - 3 pi/2 < 2 k3 pi + D    (III)

Multiplicando (II) por -2 temos

-4 k2 pi - 2D < - 2 n^2 + 6 pi/2 < -4 k2 pi + 2D.  (IV)

Observe que (n-1)^2 - 2 n^2 + (n+1)^2 = 2.

e somando (I), (III) e (IV) temos

 2 (k1 - 2 k2 + k3) pi - 4D < 2 < 2 (k1 - 2 k2 + k3) pi + 4D (V)

Fazendo k = k1 - 2 k2 + k3 e dividindo (V) por 2 pi temos

k - 2D/pi < 1/pi < k + 2D/pi

o que é um absurdo.

qed

Agora junte os termos da série de 3 em 3:

(1+sin((3k+1)^2))/sqrt(3k+1) +
(1+sin((3k+2)^2))/sqrt(3k+2) +
(1+sin((3k+3)^2))/sqrt(3k+3) >
( 3 + sin((3k+1)^2) + sin((3k+2)^2) + sin((3k+3)^2) )/sqrt(3k+3) > 
C/sqrt(3k+3)

reduzindo o problema a uma série bem conhecida.

[]s, N.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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