[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re: [obm-l] Dois problemas



Olá Aline.  Acho que neste caso o problema está mais na definição do que
sejam "sólidos semelhantes".

                    Eu usaria coordenadas polares para fazer essa definição.
Assim dois sólidos são semelhantes se um é obtido através do outro pela aplicação de uma
homotetia tridimensional, multiplicando o raio r por uma constante.
   Supondo o centro do sólido na origem e sendo ele parametrizado por
r, theta e phi,  a transformação seria uma transformação de R^3 em R^3 que
 levaria (r,theta, phi) em (n*r, theta,phi) sendo n a razão de semelhança.
     O volume seria uma integral tripla em r, theta e phi.

   V = int int int   r(theta,phi) dr d(theta) d(phi)
 

    V' = int int int   n r(theta,phi) dr d(theta) d(phi)
 
 note que o raio r é função de theta e phi e não e esses ângulos não
são afetados pela transformação de escala.  Agora se vc escrever em
coordenadas cartesianas, o volume do sólido original será

z(theta,phi) =   r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) =  r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) =  r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)

e do sólido transformado (aquele que é semelhante) será:

z(theta,phi) =   n r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) =  n r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) =  n r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)
 

  diferencie x, y e z em relação a theta e phi e resolva o sistema.  Vc vai achar
dr, d(theta) e d(phi) em relação a dx,dy,dx.  O volume do sólido em coordenadas
cartesianas será
 
   V =   int int int  f(x,y,z) dxdydz

e do sólido transformado será:
 
    V' = int int int n^3 f(x,y,z) dxdydz

Vc chegará a conclusão que V'  = n^3 V.    A esfera e o cubo são casos particulares deste caso geral.

-----------------------------------------------
Tem um outro problema:
  Provar que dos sólidos de mesmo volume a esfera é a que
possui a menor superfície.
Esse eu ainda não consegui fazer.
Parece bem difícil.
-----------------------------------------------
 

Agora só para descontrair:
O que é um urso polar?
Resposta:  É um urso cartesiano após a troca de coordenadas (muito boa!)

Abraços
Ronaldo.
==============================
 
 
 

ALINE Marconcin wrote:

 

Boa Noite a todos, estou em dúvida em mais dois problemas e ficaria muito grata se alguém pudesse me ajudar mais uma vez...

Mostrar que:

1- A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança.

2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes.

Desde de já muito obrigada.



MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. Clique aqui. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================