Oi, Vitorio,
Embora os colegas já tenham respondido exaustivamente sua questão
"PAG", eu gostaria de enfatizar dois aspectos de questões desta
natureza:
- o primeiro é arranjar algum artifício que permita a obtenção de
expressões compactas para os somatórios;
- o segundo, ter cuidado para saber em que condições a mágica feita no
item anterior é válida (especialmente se são somatórios infinitos)...
Eu prefiro indicar, sempre que possível, uma solução aderente ao ensino
médio usual, como a que se segue, que não usa "derivada"....
Multiplique por x a expressão Sn:
(1) Sn = 1 + 2x + 3x^2 + ... + (n-1)x^(n-2) + nx^(n-1)
(2) xSn = x + 2x^2 + 3x^3 + ...+ (n-1)x^(n-1) + nx^n
Subtraindo (1) - (2) temos:
(1-x) Sn = [1 + x + x^2 + ... + x^n] - nx^n
onde a expressão entre [] é a expressão da soma dos termos de uma PG
simples de razão x (cuidado quando x = 1!).
(1-x) Sn = [1-x^(n+1)]/(1-x) - n.x^n
Ou seja,
Sn = [1-x^(n+1)]/(1-x)^2 - n(x^n)/(1-x) (se não bobeei nas contas...)
Mas note que na passagem da subtração (1) - (2) , caso x = 1 o
artifício "fica imprestável". Então, olhando a expressão original
(para x =1 ) você naturalmente obtém a soma dos n primeiros números
naturais que, obviamente, vale n(n+1)/2
Eis 3 exemplos de somatórios que você pode resolver assim, sem apelar
para derivadas...:
a) somatórios que são a própria soma dos termos de uma PG (aliás esta é
a forma que uso para justificar a formuleta da soma dos termos de uma
PG...);
b) S = 1.2x + 2.3.x^2 + 3.4.x^2 + 4.5.x^4 + .... + n(n+1).x^n
c) S = x + 2^2.x + 3^2.x^2 + 4^2.x^3 + .... + (n+1)^2.x^n
Outra questão que você postou sobre trinômios do segundo grau
(parabolinhas) tangentes, também admite solução sem derivadas, embora o
conceito de tangência sem o uso de derivadas apele para um "quê" de
intuição. Nada contra..., quando a turma de oitava série consegue
fazer o problema com uma solução adequada a eles (aliás, agora é nona
série!).
Abraços,
Nehab
PS:
Acho que os caras do MEC não conhecem o zero, pois seria tão mais
simples chamar o CA de ano zero e não fazer a bagunça que fizeram
obrigando todas as editoras a apenas mudar as capas dos livros....
somando 1.... Bolas, eles não participam de nossa lista de matemática
e convenhamos, contar de 0 a 8 é complicado.... :-) Isto foi
off-topic pra caramba !!! Mas não resisti !
vitoriogauss escreveu:
Ok... valeu ..
Abraços...
Sim, está correto desde que x nao seja 1.
> Voce pode fazer tanto derivando a soma de uma PG, ou
utilizando os metodos
> de resolucao de PAG's.
>
> Em 20/09/07, vitoriogauss escreveu:
> >
> > * *Calcule a soma *Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1*
> >
> > Eu cheguei ao seguinte resultado:
> >
> > Sn= (1 - (n+1)x^n + nx^n+1 ) / ( 1 - x )^2
> >
> > Estou correto????
> >
> >
> > **
> >
>
>
>
> --
> Samir Rodrigues
>
Vitório Gauss
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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