[obm-l] Corpo Não-Arquimediano

["Jonas Renan Moreira Gomes" <jrenan.obm@xxxxxxxxx>]

Olá, estou com dificuldades em obter uma prova relacionada a corpos
arquimedianos. Vou enunciar o problema:


Seja R a família de todas as funções a com domínio nos naturais e
contra-domínio nos reais tal que o conjunto {n: n pertence aos
naturais, a(n) diferente de 0} seja finito. para a e b em R definimos
a+b e aXb como

(a+b)(n) = a(n) + b(n)
(aXb)(n) = somatorio{a(p)*b(q): p e q pertencem aos naturais e p+q = n}

Então (R,+,X) é um anel com unidade e R é um domínio de integridade.

Seja F1 = {(a,b): a e b pertencem aos reais e b é diferente de 0}. A
relação ~ é definida em F1 por (a,b) ~(c,d) se a*d = b*c. Então  ~ é
uma relação de equivalência em F1 e denote a classe de equivalência de
(a,b) por [a,b]. Seja F o conjunto das ~classes de equivalência em F1.
Para [a,b] e [c,d] em F, definimos

[a,b] V [c,d] = [(a X d) + (b X c), (b X d)]
[a,b] W [c,d] = [a X c), (b X d)]

Então (F,V,X) é um corpo.

Para a pertencente a R, seja p o grau de a, onde
p+1 = inf{n: n pertence aos naturais e a(r)=0, r maior ou igual a n}

Se [a,b] pertence a F não é nula, se (c,d) pertencente a [a,b] e se
a,b,c,d têm graus m,n,r e s, respectivamente, então

a(m)/b(n) > 0 sse c(r)/d(s)>0

Se [a,b] pertencente a F não é nula e os graus de a e b são m e n
respectivamente, então [a,b] [e positiva de a(m),b(n)> 0. Definimos <
em F por [a,b] < [c,d] se [a,b] V [-c,d] é positivo. Mostre que
(F,V,x,<) é um corpo ordenado, identifique os inteiros positivos (isto
é, o menor subconjunto indutivo de F) e mostre que F não é
arquimediano.

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Alguém pode fornecer alguma ajuda?

Estou provando as afirmativas que são feitas ao longo do texto para
entender melhor o corpo em questão (por exemplo, provar que a família
R é um anel com unidade e que ~é uma relação de equivalência), mas
mesmo assim, não fica mais claro por onde deva sair a prova de que ele
não é arquimediano.


J. Renan

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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