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Olá
Estou começando a estudar cálculo com várias
variaveis e estava com uma dúvida em alguns limites.
Meu professor disse que em alguns casos uma
estratégia boa pra cálcular o limite quando trabalhamos com 2 variaveis é
substituir por coordenadas polares fazendo x=r*cos t e y=r*sen t. Então segundo
ele, é suficiente mostrar que o valor do limite existe e independe de t, ou
que o limite não existe.
Mas outro professor que dá aula pra um amigo meu
falou que essa estratégia só serve pra provar que o limite não existe, porque
pra provar que um limite existe é necessário mostrar que o valor é o mesmo para
qualquer caminho que usamos para se aproximar de um certo ponto e, usando as
coordenadas polares consideramos apenas as retas e ignoramos todos os outros
caminhos.
Só pra citar um exemplo, caso não tenha ficado
muito claro:
lim(x,y)->(0,0)[(x³+y³)/(x²+y²)]. Fazendo essa
substituição: lim r->0+ [(r³(sen³t+cos³t))/(r²(sen²t+cos²t))] = lim r->0+
[r(sen³t+cos³t)]. Como r->0+, r(sen³t+cos³t)->0 e o limite independe de t.
A dúvida é: isso é suficiente pra provar que o limite é 0?
Obrigado
Rafael.
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