Percebo em certo grau que a ousadia direcionada à honestidade, à nobreza e à humildade auxilia na resolução de questões.
Fraternalmente, João.
Olá pessoal!
Muito obrigado pela colaboração de todos na solução do problema.
Enviei a solução para obm@impa.br com as devidas citações ao Nehab e
ao Marcio. Obrigado pela dica da "estrategia padrao" Marcio!
Certamente será muito útil em problemas futuros.
Por sinal como foi a sua solução para o problema? Fiquei curioso e
creio que outros também estão.
Alguém saberia me dizer se é esse e-mail(obm@impa.br) o correto para
enviar as soluções dos problemas propostos da Eureka? Tinha enviado
uma outra vez mas não obtive resposta.
Abraços,
Douglas Ribeiro
OBS: Desculpe a ousadia Nehab, mas foi foi mais forte que eu!
Em 31/07/07, Marcio Cohen<marciocohen@majorando.com> escreveu:
> Douglas,
>
> Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos
> por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka
> na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!!
>
> Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é:
>
> Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como
> exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx:
>
> (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 +
> 1/c^2 + 6)
> = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6);
>
>
> 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) =
> -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1).
>
> Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 +
> (cosC)^2 - 6), ou seja,
> (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC
>
> Abraços,
> Marcio Cohen
>
>
> On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva < dougzbr@gmail.com> wrote:
> >
> > Olá Nehab!
> >
> > Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter
> > de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da
> > lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como
> > eu, vocês gostam muito de geometria.
> >
> > O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um
> > problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o
> > problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se
> > cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que
> > gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área
> > do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação.
> >
> > Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão
> > que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois
> > não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma
> > fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar.
> >
> > A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +
> > (cosB)^2 + (cosC)^2)].
> > Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo
> > é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente
> > 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho
> > para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema
> > da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles.
> >
> > Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a
> > idéia abaixo:
> >
> > Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ.
> > Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -
> > S(XBZ) - S(XYC)
> >
> > S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção
> >
> > As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo
> > se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores
> > que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) =
> > bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.
> >
> > Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -
> > ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2
> >
> > Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e
> > substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por
> > S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula
> > de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original.
> >
> > Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e
> > ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar
> > [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -
> > 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].
> >
> > Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e
> > achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o
> > produto de cossenos.
> >
> > Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e
> > certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a
> > Eureka.
> >
> > Abraços, Douglas
> >
> >
> >
> >
> > Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<carlos@nehab.net > escreveu:
> > >
> > > Oi, querido Ponce
> > >
> > > Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as
> áreas
> > > independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários
> > > caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema.
> > >
> > > Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é "o quadrado do
> produto
> > > dos senos dos angulos", ou coisa similar. Embora tendo encontrado
> várias
> > > coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando
> resolver
> > > o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado.
> > >
> > > E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse
> alguma
> > > expressão simples para a resposta. Resta aguardar que quem propôs o
> > > problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em
> nossa
> > > lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem
> é
> > > bastante interessante).
> > >
> > > Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de
> > > mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho,
> no
> > > mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio.
> > >
> > > Abraços,
> > > Nehab
> > >
> > > At 01:09 29/7/2007, you wrote:
> > >
> > > Ola' Douglas e colegas da lista,
> > > nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
> > >
> > > Num triangulo equilatero a relacao vale 1/4 , e num triangulo retangulo
> ela
> > > vale 1/3.
> > > E repare que podemos girar um dos lados do triangulo equilatero em
> torno do
> > > seu ponto medio, de forma a transforma-lo, de forma continua, em
> triangulo
> > > retangulo. O efeito disso e' percorrermos todos os valores de 1/4 a 1/3
> ,
> > > por exemplo, mostrando que nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
> > >
> > > Obviamente poderiamos querer tentar encontrar alguma relacao envolvendo
> > > outra area "notavel" (como o triangulo de Euler, por exempo) , alem da
> area
> > > dos 2 triangulos originais, mas nao e' o que o problema pede (e nem
> faria
> > > muito sentido ficar testando uma infinidade de combinacoes).
> > >
> > > Portanto, a relacao entre as areas ABC e XYZ e' ... NENHUMA!
> > >
> > > []'s
> > > Rogerio Ponce
> > >
> > >
> > > Douglas Ribeiro Silva <dougzbr@gmail.com> escreveu:
> > > Seja um triangulo ABC com lados a, b, c.
> > >
> > > X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC
> > > Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC
> > > Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB
> > >
> > > Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ?
> > >
> > >
> > > Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
> >
> >
> =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> >
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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