Percebo em certo grau que a ousadia direcionada � honestidade, � nobreza e � humildade auxilia na resolu��o de quest�es.
Fraternalmente, Jo�o.
Ol� pessoal!
Muito obrigado pela colabora��o de todos na solu��o do problema.
Enviei a solu��o para obm@impa.br com as devidas cita��es ao Nehab e
ao Marcio. Obrigado pela dica da "estrategia padrao" Marcio!
Certamente ser� muito �til em problemas futuros.
Por sinal como foi a sua solu��o para o problema? Fiquei curioso e
creio que outros tamb�m est�o.
Algu�m saberia me dizer se � esse e-mail(obm@impa.br) o correto para
enviar as solu��es dos problemas propostos da Eureka? Tinha enviado
uma outra vez mas n�o obtive resposta.
Abra�os,
Douglas Ribeiro
OBS: Desculpe a ousadia Nehab, mas foi foi mais forte que eu!
Em 31/07/07, Marcio Cohen<marciocohen@majorando.com> escreveu:
> Douglas,
>
> Voc� certamente fez a parte dif�cil da quest�o e merece 100% dos cr�ditos
> por isso. Eu tinha feito uma solu��o por complexos para a quest�o da Eureka
> na aula de treinamento da imo, mas a sua � muito mais legal!!
>
> Para provar o detalhe final da sua solu��o, minha estrat�gia padr�o �:
>
> Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Ent�o, abc = -1 e como
> exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx:
>
> (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 +
> 1/c^2 + 6)
> = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6);
>
>
> 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) =
> -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1).
>
> Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 +
> (cosC)^2 - 6), ou seja,
> (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC
>
> Abra�os,
> Marcio Cohen
>
>
> On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva < dougzbr@gmail.com> wrote:
> >
> > Ol� Nehab!
> >
> > Primeiramente gostaria de expressar minha satisfa��o do problema ter
> > de fato chamado sua aten��o e do Rog�rio Ponce. J� participo da
> > lista(n�o muito ativamente) h� um bom tempo e percebo que assim como
> > eu, voc�s gostam muito de geometria.
> >
> > O problema na verdade veio da minha cabe�a, mas foi inspirado em um
> > problema proposto na �ltima(ou pen�ltima) Eureka. Originalmente o
> > problema pedia para mostrar que XYZ est�o alinhados se e somente se
> > cosA*cosB*cosC = -3/8. Ent�o pensei em me inspirar nos chineses, que
> > gostavam de resolver teoremas usando �reas, e pensei em "zerar" a �rea
> > do triangulo XYZ para chegar na t�o esperada rela��o.
> >
> > Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma express�o
> > que relaciona as �reas corretamente, por outro estou frustrado pois
> > n�o consigo fazer a �ltima passagem, que certamente exige uma
> > fatora��o ou algo do tipo que n�o estou conseguindo enxergar.
> >
> > A rela��o que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +
> > (cosB)^2 + (cosC)^2)].
> > Note que a rela��o � v�lida nos casos mais triviais em que o triangulo
> > � equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, s�o respectivamente
> > 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho
> > para ver que a �rea d� zero). Notem que a rela��o pedida no problema
> > da Eureka � satisfeita para este triangulo isosceles.
> >
> > Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa rela��o, segue a
> > id�ia abaixo:
> >
> > Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflex�es XYZ.
> > Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -
> > S(XBZ) - S(XYC)
> >
> > S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por constru��o
> >
> > As �reas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtra�das, dependendo
> > se os �ngulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores
> > que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) =
> > bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.
> >
> > Ent�o a rela��o passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -
> > ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2
> >
> > Agora substitu�mos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e
> > substitu�mos tamb�m bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por
> > S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido � mesma f�rmula
> > de �rea em fun��o dos lados e do angulo para o triangulo original.
> >
> > Fazendo as devidas substitui��es acima, simplificamos os senos e
> > ficamos com a rela��o da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar
> > [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -
> > 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].
> >
> > Quando eu enviei o problema ainda n�o tinha chegado nesse resultado e
> > achava que chegaria em uma express�o mais f�cil de passar para o
> > produto de cossenos.
> >
> > Qualquer ajuda para terminar o problema eu agrade�o bastante e
> > certamente darei os devidos cr�ditos quando enviar a solu��o para a
> > Eureka.
> >
> > Abra�os, Douglas
> >
> >
> >
> >
> > Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<carlos@nehab.net > escreveu:
> > >
> > > Oi, querido Ponce
> > >
> > > Naturalmente n�o se supunha (pelo menos eu) que a rela��o entre as
> �reas
> > > independesse do tri�ngulo, mas mesmo assim, confesso que tentei v�rios
> > > caminhos e n�o encontrei uma solu��o simples para o problema.
> > >
> > > Eu esperava algo do tipo: a raz�o entre as �reas � "o quadrado do
> produto
> > > dos senos dos angulos", ou coisa similar. Embora tendo encontrado
> v�rias
> > > coisas curiosas sobre o maldito e interessante tri�ngulo, tentando
> resolver
> > > o problema, n�o encontrei nada simples que merecesse ser publicado.
> > >
> > > E tamb�m confesso que imaginei que algu�m mais inspirado conseguisse
> alguma
> > > express�o simples para a resposta. Resta aguardar que quem prop�s o
> > > problema informe se sabe alguma coisa (ali�s h�bito pouco praticado em
> nossa
> > > lista � informar a origem dos problemas propostos - e �s vezes, a origem
> �
> > > bastante interessante).
> > >
> > > Eu realmente gosto desta informa��o pois tenho o h�bito (e gosto) de
> > > mencionar a origem (e a solu��o) de qualquer problema que eu proponho,
> no
> > > m�nimo para respeitar a hist�ria... e o trabalho alheio.
> > >
> > > Abra�os,
> > > Nehab
> > >
> > > At 01:09 29/7/2007, you wrote:
> > >
> > > Ola' Douglas e colegas da lista,
> > > nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
> > >
> > > Num triangulo equilatero a relacao vale 1/4 , e num triangulo retangulo
> ela
> > > vale 1/3.
> > > E repare que podemos girar um dos lados do triangulo equilatero em
> torno do
> > > seu ponto medio, de forma a transforma-lo, de forma continua, em
> triangulo
> > > retangulo. O efeito disso e' percorrermos todos os valores de 1/4 a 1/3
> ,
> > > por exemplo, mostrando que nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
> > >
> > > Obviamente poderiamos querer tentar encontrar alguma relacao envolvendo
> > > outra area "notavel" (como o triangulo de Euler, por exempo) , alem da
> area
> > > dos 2 triangulos originais, mas nao e' o que o problema pede (e nem
> faria
> > > muito sentido ficar testando uma infinidade de combinacoes).
> > >
> > > Portanto, a relacao entre as areas ABC e XYZ e' ... NENHUMA!
> > >
> > > []'s
> > > Rogerio Ponce
> > >
> > >
> > > Douglas Ribeiro Silva <dougzbr@gmail.com> escreveu:
> > > Seja um triangulo ABC com lados a, b, c.
> > >
> > > X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC
> > > Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC
> > > Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB
> > >
> > > Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ?
> > >
> > >
> > > Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
> >
> >
> =========================================================================
> > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> >
>
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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