Oi, Douglas,
Muito legais suas id�ias e sua solu��o. Eu passei perto de sua express�o mas aqui vai uma modesta colabora��o para voc� fechar SUA bonita solu��o do jeito que voc� queria... (� s� um treinozinho nas nojentas express�es trigonom�tricas vestibulinas...):
Fa�amos
X = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2
Dai, como cos2x = 2(cosx)^2 -1, vem
X = (1 + cos2A)/2 + (1+cos2B)/2 + (cosC)^2
X = 1 + [cos(2A) +cos(2B) ]/2 + (cosC)^2
Mas
cos(2A) + cos(2B) = 2cos(A+B)cos(A-B) = -2cosC cos(A-B).
Substituindo em X:
X = 1 - cosC [ cos(A-B) - cosC] = 1 - cosC [ cos(A-B) + cos(A+B) ]. Dai acabou:
X= 1 - cosC. [2cosA.cosB] = 1 - 2cosA.cosB.cosC
Substituindo este X na express�o que voc� obteve, voc� chega na desejada express�o do enunciado que o motivou.
7 - 4 [ (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 ] = 7 - 4 [ 1 - 2cosA.cosB.cosC ] = 3 - 8 cosA.cosB.cosC
Um grande abra�o,
Nehab
PS: Nem ouse me incluir na sua linda constru��o. O m�rito � todo seu !
At 22:22 30/7/2007, you wrote:
Ol� Nehab!
Primeiramente gostaria de expressar minha satisfa��o do problema ter
de fato chamado sua aten��o e do Rog�rio Ponce. J� participo da
lista(n�o muito ativamente) h� um bom tempo e percebo que assim como
eu, voc�s gostam muito de geometria.
O problema na verdade veio da minha cabe�a, mas foi inspirado em um
problema proposto na �ltima(ou pen�ltima) Eureka. Originalmente o
problema pedia para mostrar que XYZ est�o alinhados se e somente se
cosA*cosB*cosC = -3/8. Ent�o pensei em me inspirar nos chineses, que
gostavam de resolver teoremas usando �reas, e pensei em "zerar" a �rea
do triangulo XYZ para chegar na t�o esperada rela��o.
Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma express�o
que relaciona as �reas corretamente, por outro estou frustrado pois
n�o consigo fazer a �ltima passagem, que certamente exige uma
fatora��o ou algo do tipo que n�o estou conseguindo enxergar.
A rela��o que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +
(cosB)^2 + (cosC)^2)].
Note que a rela��o � v�lida nos casos mais triviais em que o triangulo
� equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, s�o respectivamente
1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho
para ver que a �rea d� zero). Notem que a rela��o pedida no problema
da Eureka � satisfeita para este triangulo isosceles.
Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa rela��o, segue a
id�ia abaixo:
Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflex�es XYZ.
Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -
S(XBZ) - S(XYC)
S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por constru��o
As �reas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtra�das, dependendo
se os �ngulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores
que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) =
bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.
Ent�o a rela��o passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -
ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2
Agora substitu�mos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e
substitu�mos tamb�m bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por
S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido � mesma f�rmula
de �rea em fun��o dos lados e do angulo para o triangulo original.
Fazendo as devidas substitui��es acima, simplificamos os senos e
ficamos com a rela��o da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar
[sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -
4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].
Quando eu enviei o problema ainda n�o tinha chegado nesse resultado e
achava que chegaria em uma express�o mais f�cil de passar para o
produto de cossenos.
Qualquer ajuda para terminar o problema eu agrade�o bastante e
certamente darei os devidos cr�ditos quando enviar a solu��o para a
Eureka.
Abra�os, Douglas
Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<carlos@nehab.net> escreveu:
>
> Oi, querido Ponce
>
> Naturalmente n�o se supunha (pelo menos eu) que a rela��o entre as �reas
> independesse do tri�ngulo, mas mesmo assim, confesso que tentei v�rios
> caminhos e n�o encontrei uma solu��o simples para o problema.
>
> Eu esperava algo do tipo: a raz�o entre as �reas � "o quadrado do produto
> dos senos dos angulos", ou coisa similar. Embora tendo encontrado v�rias
> coisas curiosas sobre o maldito e interessante tri�ngulo, tentando resolver
> o problema, n�o encontrei nada simples que merecesse ser publicado.
>
> E tamb�m confesso que imaginei que algu�m mais inspirado conseguisse alguma
> express�o simples para a resposta. Resta aguardar que quem prop�s o
> problema informe se sabe alguma coisa (ali�s h�bito pouco praticado em nossa
> lista � informar a origem dos problemas propostos - e �s vezes, a origem �
> bastante interessante).
>
> Eu realmente gosto desta informa��o pois tenho o h�bito (e gosto) de
> mencionar a origem (e a solu��o) de qualquer problema que eu proponho, no
> m�nimo para respeitar a hist�ria... e o trabalho alheio.
>
> Abra�os,
> Nehab
>
> At 01:09 29/7/2007, you wrote:
>
> Ola' Douglas e colegas da lista,
> nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
>
> Num triangulo equilatero a relacao vale 1/4 , e num triangulo retangulo ela
> vale 1/3.
> E repare que podemos girar um dos lados do triangulo equilatero em torno do
> seu ponto medio, de forma a transforma-lo, de forma continua, em triangulo
> retangulo. O efeito disso e' percorrermos todos os valores de 1/4 a 1/3 ,
> por exemplo, mostrando que nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
>
> Obviamente poderiamos querer tentar encontrar alguma relacao envolvendo
> outra area "notavel" (como o triangulo de Euler, por exempo) , alem da area
> dos 2 triangulos originais, mas nao e' o que o problema pede (e nem faria
> muito sentido ficar testando uma infinidade de combinacoes).
>
> Portanto, a relacao entre as areas ABC e XYZ e' ... NENHUMA!
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> Douglas Ribeiro Silva <dougzbr@gmail.com> escreveu:
> Seja um triangulo ABC com lados a, b, c.
>
> X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC
> Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC
> Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB
>
> Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ?
>
>
> Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.