Oi, Douglas,
Muito legais suas idéias e sua solução. Eu passei perto de sua expressão mas aqui vai uma modesta colaboração para você fechar SUA bonita solução do jeito que você queria... (é só um treinozinho nas nojentas expressões trigonométricas vestibulinas...):
Façamos
X = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2
Dai, como cos2x = 2(cosx)^2 -1, vem
X = (1 + cos2A)/2 + (1+cos2B)/2 + (cosC)^2
X = 1 + [cos(2A) +cos(2B) ]/2 + (cosC)^2
Mas
cos(2A) + cos(2B) = 2cos(A+B)cos(A-B) = -2cosC cos(A-B).
Substituindo em X:
X = 1 - cosC [ cos(A-B) - cosC] = 1 - cosC [ cos(A-B) + cos(A+B) ]. Dai acabou:
X= 1 - cosC. [2cosA.cosB] = 1 - 2cosA.cosB.cosC
Substituindo este X na expressão que você obteve, você chega na desejada expressão do enunciado que o motivou.
7 - 4 [ (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 ] = 7 - 4 [ 1 - 2cosA.cosB.cosC ] = 3 - 8 cosA.cosB.cosC
Um grande abraço,
Nehab
PS: Nem ouse me incluir na sua linda construção. O mérito é todo seu !
At 22:22 30/7/2007, you wrote:
Olá Nehab!
Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter
de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da
lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como
eu, vocês gostam muito de geometria.
O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um
problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o
problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se
cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que
gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em "zerar" a área
do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação.
Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão
que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois
não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma
fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar.
A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 +
(cosB)^2 + (cosC)^2)].
Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo
é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente
1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho
para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema
da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles.
Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a
idéia abaixo:
Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ.
Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) -
S(XBZ) - S(XYC)
S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção
As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo
se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores
que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) =
bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2.
Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 -
ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2
Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e
substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por
S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula
de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original.
Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e
ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar
[sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 -
4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)].
Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e
achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o
produto de cossenos.
Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e
certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a
Eureka.
Abraços, Douglas
Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<carlos@nehab.net> escreveu:
>
> Oi, querido Ponce
>
> Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas
> independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários
> caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema.
>
> Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é "o quadrado do produto
> dos senos dos angulos", ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias
> coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver
> o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado.
>
> E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma
> expressão simples para a resposta. Resta aguardar que quem propôs o
> problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em nossa
> lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é
> bastante interessante).
>
> Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de
> mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no
> mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio.
>
> Abraços,
> Nehab
>
> At 01:09 29/7/2007, you wrote:
>
> Ola' Douglas e colegas da lista,
> nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
>
> Num triangulo equilatero a relacao vale 1/4 , e num triangulo retangulo ela
> vale 1/3.
> E repare que podemos girar um dos lados do triangulo equilatero em torno do
> seu ponto medio, de forma a transforma-lo, de forma continua, em triangulo
> retangulo. O efeito disso e' percorrermos todos os valores de 1/4 a 1/3 ,
> por exemplo, mostrando que nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
>
> Obviamente poderiamos querer tentar encontrar alguma relacao envolvendo
> outra area "notavel" (como o triangulo de Euler, por exempo) , alem da area
> dos 2 triangulos originais, mas nao e' o que o problema pede (e nem faria
> muito sentido ficar testando uma infinidade de combinacoes).
>
> Portanto, a relacao entre as areas ABC e XYZ e' ... NENHUMA!
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> Douglas Ribeiro Silva <dougzbr@gmail.com> escreveu:
> Seja um triangulo ABC com lados a, b, c.
>
> X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC
> Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC
> Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB
>
> Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ?
>
>
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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