Oi Klaus,
O fato central que mostra que a fun��o s� precisa ser definida nos primos � que a fun��o � multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos s� definir f(2), e 2 � primo.
Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou provar que s� precisamos definir f nos inteiros: como f � de Q+ em Q+, ent�o s� precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ � o conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f � multiplicativa f(m) = f(n)f(x) <=> f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, encontrados os valores da fun��o em Z+, encontramos os valores da fun��o em Q+.
Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, f(1) = 1 (note que f s� assume valores racionais positivos, logo f(x) n�o pode ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. A�, como f � multiplicativa, f(n) � igual ao produto da f dos primos de sua fatora��o. No nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe tamb�m que f(mnp) = f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma fun��o multiplicativa a � para mais de dois fatores tamb�m (a demonstra��o formal disso � por indu��o sobre a quantidade de fatores, mas tenho certeza de que voc� consegue enxerg�-la).
Bom, talvez a sua d�vida seja por que a fun��o � multiplicativa. Para isso, fa�a x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, f(f(y)) � uma fun��o bijetora e, portanto, f tamb�m � bijetora, em particular injetora (a demonstra��o da injetividade � bem r�pida: f(x) = f(y) => f(f(x)) = f(f(y)) <=> f(1)/x = f(1)/y <=> x = y).
Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (� s� trocar x por 1 e y por xy) e f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y).
[]'s
Shine
----- Original Message ----
From: Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM
Subject: [obm-l] Equacao funcional II
Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma fun��o f: Q+-->Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solu��o logo abaixo, s� no final ele diz assim "Assim, basta construir a fun��o para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos." Por qu�? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) n�o daria. Ele s� definiu para os primos.
Grato.
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