[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida Continuidade

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Para iniciar, observemos que f(0) =  f(0 + 0) = f(0) + f(0) =  2 f(0)  => f(0) = 0

 

Como todo elemento de R eh ponto de acumulacao de R, a continuidade em 0 implica que lim ( t --> 0) f(t) = f(0) = 0.

Para todo x e todo t de R, f(x +t) - f(x) = f(x) + f(t) - f(x) = f(t). Logo, lim ( t --> 0) f(x + t) - f(x) = lim (t --> 0) f(t) = f(0) = 0, o que equivale a dizer que lim (t --> 0) f(x + t) = f(x), justamente a condicao de continuidade em x. Como vale para todo x de R, f eh continua em R.

 

Complete agora o problema, mostre que esta eh a funcao linear dada por f(x) = k*x, k = f(1), para todo real x.

 

Artur 

 

 

 

 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Kleber Bastos
Enviada em: quarta-feira, 11 de julho de 2007 11:10
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Dúvida Continuidade

Seja f: R->R  tq

 

f(x+y) = f(x) + f(y)  ( para todo x,y E R )

 

Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R.

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Kleber B. Bastos