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RES: [obm-l] continuidade em intervalo
Prezado Kléber,
Esta
conclusao eh consequencia de um teorema de carater geral que diz o
seguinte: Sejam X e Y espacos topologicos, Y de Hausdorff, e sejam
f,g:X-> Y funcoes continuas. Se existir um conjunto D, denso em
X, talque f(x) = g(x) para todo x de D, entao f =
g;
Particularizando para o nosso caso. Veja que I inter Q eh denso em I.
Para provar isto diretamente, uma forma facil eh considerarmos o fato deque os
reais sao um espaco metrico. Uma sugestao. Tome um x qualquer em I. Como I inter
Q eh denso em I, existe uma sequencia x_n de racionais em I que converge para x.
O que de interessante tem as sequencias f(x_n) e g(x_n)? Dado que f e g sao
continuas, que outra conclusao interssante podemos tirar sobre esta
sequencias?
Outra
forma de mostrar. Para x em I, assuma que f(x) <> g(x). Tome vizinhancas
disjuntas Vf e Vg de f(x) e de g(x), respectivamente. As continuidades de f e de
g implicam a existencia de vizinhancas U1 e U2 de x com uma caracteristica
interessante. U1 Inter U2 tambem eh vizinhanca de x e contem racionais
de I. Nao dah algo estranho?
Abracos
Artur
tropecei em mais essa :
Seja I Contida em R um intervalo, f,g: I->R funções contínuas,
f(x)=g(x) ( para todo x pertencente I interseção Q ). Provar que , f=g .