Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jun 29, 2007 at 11:44:35AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series
> de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez
> este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as
> chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise
> Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns
> capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo
> menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumento de um complexo, em
> representacao polar, nao deve ser considerado como angulo. 

A definição via série é de fato muito boa para estender a definição
de exp para os complexos, mas definitivamente não é esta a única forma
de proceder, veja abaixo. Se é a melhor forma é questão de opinião.

> Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que,
> embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo
> trigonometrico ou por "cateto oposto sobre hipotenusa", como aprendi no
> antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque
> a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na
> realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das
> funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desigualdade
> |sen(x)| <= > |x|, com igualdade se e somente se x=0, e esta eh usualmente
> provada com base no famos postulado da geometria Euclidiana segundo o qual a
> menor distancia entre 2 pontos eh o segmento de reta que os une. 

Sob um ponto de vista lógico, as considerações são válidas mas exageradas:
você de fato precisa de integral (no mínimo) para definir o comprimento
de uma curva qualquer. No caso em questão, entretanto, estamos calculando
o comprimento apenas de segmentos de reta e de círculo. Isto pode ser feito
sem integral.

Outro ponto de vista importante é o pedagógico. É rotina apresentar na escola
de maneira informal conceitos que para uma apresentação formal exigem 
matemática muito além do que os alunos conhecem. Comprimento de uma curva
e área de uma região são bons exemplos.

> Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos
> complexos?

A definição via EDO é perfeitamente adequada para exponencial de complexos e
matrizes: ela é a definição de exponencial de uma álgebra de Lie g
para o grupo de Lie associado G: se
f: R -> G, f(0) = e, f'(t) = f(t) h (onde h é um elemento de g)
então f(t) = exp(t h).

> As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos
> reais, certo?

A definição via inverso do log funciona perfeitamente bem para complexos:
integre a função holomorfa f(z) = 1/z (em um aberto simplesmente conexo
que não contenha a origem) para obter a funçao holomorfa g(z) = log(z).
A inversa de g é a restrição da exponencial a algum aberto e prolongamento
analítico estende a exponencial para todo o plano complexo.

Para a definição elementar, veja abaixo.

> No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a
> funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em
> pelo menos 1 elemento de R?

Não. Para todo a > 1 existe uma única função crescente f: R -> R com
f(0) = 1, f(1) = a, f(x+y) = f(x)*f(y). Talvez você não tenha atentado para
a hipótese (elementar, i.e., dentro da matemática que um estudante de
ensino médio conhece) de f ser crescente.

A hipótese de f ser crescente de fato não faz sentido para os complexos.
Acho que a trilha mais fiel à construção elementar seria provar que f
é real analítica e tomar seu prolongamento analítico para o plano complexo.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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