Re: [obm-l] Desafio - Análise Real

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jun 28, 2007 at 01:49:20PM -0300, Fellipe Rossi wrote:
> Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e
> suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k para
> todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência  (c_n) definida por c_n =
> a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. 
> 
> Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.

As seqüências a_k e b_k são limitadas:
suponha que |a_k|, |b_k| < B para todo k. 

Dado e > 0 seja N1 tal que n > N1 -> |b_(N1+1)|+...+|b_n| < e/(2B).
Seja C = |b_1|+|b_2|+...+|b_N1|.
Seja N2 tal que n > N2 -> |a_n| < e/(2C).

Tome N = N1+N2 e n > N.
 |c_n| <= |a_1||b_n| + ... + |a_(n-N1)| |b_(N1+1)| + 
          |a_(n+1-N1)||b_N1| + ... + |a_n| |b_1|

Na primeira linha temos |a_k| < B.
Temos n+1-N1 > N2 donde na segunda linha temos |a_k| < e/(2C).
Assim

 |c_n| <= B(|b_n| + ... + |b_(N1+1)|) +
          (e/(2C))(|b_N1| + ... + |b_1|)
       < Be/(2B) + Ce/(2C) = e

concluindo a demonstração.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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