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RES: [obm-l] Provar que eh divisivel por 17



Grande, Bruno!
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno França dos Reis
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 17:16
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Provar que eh divisivel por 17

Escreva sua expressão assim:
2*(2^7)^n + 3*(3^2)^n + 5*(5^10)^n + 7*(7^6)^n
 
Agora simplificamos a expressão observando que
2^4 = 16 = -1 (mod 17) ==> (2^7)^n = (-1)^n * 8^n
3^2 = 9 = -8 (mod 17) ==> (3^2)^n = (-1)^n * 8^n
5^2 = 25 = 8 (mod 17) ==> (5^10)^n = 5^(2*5*n) = (5^2)^5n = 8^5n
8^5 = 64*64*8 = (-4)*(-4)*8 = 16*8 = (-1)*8 = -8 (mod 17)
Assim, (5^10)^n = (-1)^n * 8^n
Adivinhe quanto será (7^6)^n...
7^6 = 343 * 343 = 3 * 3 = 9 = -8 (mod 17) ==> (7^6)^n = (-1)^n * 8^n
 
Assim a expressão original é:
 
(-1)^n*8^n  *  (2 + 3 + 5 + 7) = (-1)^n*8^n * 17, e portanto é divisível por 17, para todo n natural!
 
Abraço
Bruno
 
2007/6/28, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:
Esta não consegui. Tentei por indução, complicou. Algúem pode ajudar?
 
 
Mostra que 2^(7n+1) + 3^(2n+1) +5^(10n+1) + 7^(6n+1), n =0, 1,2....eh divisivel por 17.
 
Abracos
Artur 
 



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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0