RES: [obm-l] desigualdade

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Certamente existe uma solucao por fatoracao. Mas, se for valido utilizar algum conhecimento de programacao matematica, este e um caso em que quer minimizar uma funcao f de a,b, c continua, que apresenta simetria, e cujas derivadas parciais existem. Sabemos que um ponto extremo ocorre para a = b = c = 2/3, o qual nos leva a f(2/3, 2/3, 2/3) = 16. Se restringirmos f ao octante nao negativo, entao temos funcao continua em conjunto compacto. Outros pontos o extremos ocorrem quando uma das variaveis e positiva e a s outras nulas, como a=2, b= c =0. A funcao assume entao o valor 24 >16. 

 

Se permitirmos valores negativos, entao  fazendo c = 0 e b = 2 - a, obtemos uma funcao polinomila do segundo grau em a cujo temos lider eh positivo.  Assim, atendendo a + b + c =2 podemos fazer a funcao ir para oo. 

 

Concluimos que (2/3, 2/3, 2/3) é minimo global e, portanto, f(a, b, c) =   3(a^3+b^3+c^3)+10(ab+bc+ca) >= f(2/3, 2/3, 2/3) = 16  para todos (a, b, c) com a + b + c =2, havendo igualdade sse a = b = c = 2/3 

[Artur Costa Steiner] 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Julio Sousa
Enviada em: segunda-feira, 25 de junho de 2007 02:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] desigualdade

Se a+b+c=2 , então prove que:

3(a^3+b^3+c^3)+10(ab+bc+ca) >=16

 

--
Atenciosamente
Júlio Sousa