Re: [obm-l] Dúvida

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Nicolau (e demais colegas envolvidos com este
problema)...

Ah se eu tivesse como qualidade uma pequena dose que fosse do seu
pragmatismo...!!!  

Sua primeira solução (que eu havia conseguido fazer) e me lembra um
exercício de 2005 do IME (que segue a mesma idéia da
recorrência):

IME 2005: Sejam a, b e c as raízes do polinômio p(x) = x^3 + r x -
t  onde r e s são números reais não nulos.
a) Determine a^3 + b^3 + c^3 em função de r e s;
b) Demostre que S^(n+1) + rS^(n-1)  -t S(n-2) = 0  para todo
número natural n>=2, onde S(k) = a^k + b^k +c^k
para qualquer número natural k.

Mas quando eu percebi que tinha que fazer "aquelas contas"
desisti deste caminho, pois fui menos pragmático (um dos grandes defeitos
que tenho) e pensei:  e se o enunciado pedisse 
a^2001+b^2001+c^2001?   O que eu faria?   Certamente
não seriam contas como aquelas.   Pensamento talvez
"romântico", mas ai fiquei tentando chegar no 21 sem passar
pelas contas e confesso que não consegui...

Até usei o fato que p_(n+4) - p_(n+3) = p_(n+3) - p_(n)  para as
contas ficarem mais rápidas (pelas diferenças), mas não me
satisfiz...  Ah perfeccionismo...

Vivendo e aprendendo
Um grande abraço,
Nehab

At 11:15 21/6/2007, you wrote:
> On Thu, Nov 01, 2001 at
> 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote:
> > Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão:
> > 
> > Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 =
> 3 e  
> > a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21.
>
> Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z =
> abc.
> Temos
> (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 
> 1 = 3 + 2X
> X = -1
>
> (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc
> -1 = Y + 3Z
>
> (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc
> -1 = 7 + 3Y + 6Z
>
> Y = -4, Z = 1
>
> Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
> Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
> p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para
> p_n:
>
> p_1  = 1
> p_2  = 3
> p_3  = 7
> p_4  = 11
> p_5  = 21
> p_6  = 39
> p_7  = 71
> p_8  = 131
> p_9  = 241
> p_10 = 443
> p_11 = 815
> p_12 = 1499
> p_13 = 2757
> p_14 = 5071
> p_15 = 9327
> p_16 = 17155
> p_17 = 31553
> p_18 = 58035
> p_19 = 106743
> p_20 = 196331
> p_21 = 361109
>
> Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109.
>
> Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c
> podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]]
> cujos autovalores são a,b,c.
>
>     [0    0    1]
> N = [1    0    1]
>     [0    1    1]
>
> Temos
>
>       [0    1   
> 1]
> N^2 = [0    1    2]
>       [1    1   
> 2]
>
>       [1    2   
> 4]
> N^4 = [2    3    6]
>       [2    4   
> 7]
>
>       [2   
> 4     7]
> N^5 = [3    6    11]
>       [4    7   
> 13]
>
>        [44    
> 81    149]
> N^10 = [68    125    230]
>        [81   
> 149    274]
>
>        [19513   
> 35890     66012]
> N^20 = [30122    55403    101902]
>        [35890   
> 66012    121415]
>
>        [35890    
> 66012    121415]
> N^21 = [55403    101902    187427]
>        [66012   
> 121415    223317]
>
> Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas
> das
> matrizes anteriores.
>
> Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109
> (e chegamos na mesma resposta).
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================