[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade do triângulo

["Ralph Teixeira" <Ralph.Teixeira@xxxxxx>]

	-----Original Message----- 
	From: Ralph Teixeira 
	Sent: Thu 6/7/2007 3:57 PM 
	To: obm-l@mat.puc-rio.br 
	Cc: 
	Subject: RE: [obm-l] Probabilidade do triângulo
	
	
	Sem perda de generalidade, suponha que o comprimento de AB eh 1. Sejam AC=x e AD=y, tambem sem perda de generalidade.
	 
	Agora, este negocio de "marcados ao acaso" eh mais ambiguo do que parece -- existem varias maneiras diferentes de escolher os pontos ao acaso, que podem dar resultados diferentes. A maneira mais comum de interpretar isso (pontos independentes, distribuicao uniforme) dah o seguinte argumento:
	 
	Considere o ponto (x,y) no plano cartesiano. Como 0<=x<=1 e 0<=y<=1, este ponto estah no quadrado de lado 1 com vertice na origem (faca a figura!). Quais destas escolhas sao "validas"? Bom, uma escolha eh valida se os 3 segmentos sao menores que 1/2 (pois entao o maior serah menor que a soma dos outros dois).
	 
	Se x<=y, os segmentos sao x, y-x e 1-y. Assim, queremos x<=1/2, y-x<=1/2 e y>=1/2. Marque estas regioes no quadrado dentro de y>=x.
	Se x>=y, a situacao eh simetrica: queremos agora x>=1/2, x-y>=1/2 e y<=1/2. A regiao "valida" eh entao algo assim (viva arte ASCII!!):
	 
	0=x   1/2=x    1=x
	oooooooxoooooooo y=1
	ooooooxxoooooooo
	oooooxxxoooooooo
	ooooxxxxoooooooo
	oooxxxxxoooooooo
	ooxxxxxxoooooooo
	oxxxxxxxoooooooo
	xxxxxxxxxxxxxxxx y=1/2
	oooooooxxxxxxxxo
	oooooooxxxxxxxoo
	oooooooxxxxxxooo
	oooooooxxxxxoooo
	oooooooxxxxooooo
	oooooooxxxoooooo
	oooooooxxooooooo
	oooooooxoooooooo  y=0
	 
	A interpretacao usual de "escolher ao acaso" eh de que a probabilidade de o ponto escolhido estar numa area seria proporcional a esta area (distribuicao uniforme). Entao a probabilidade pedida eh a area da regiao com x sobre a area total do quadrado. Dah 1/4=25%.
	 
	Abraco,
	      Ralph

		-----Original Message----- 
		From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br on behalf of carry_bit 
		Sent: Sat 5/19/2007 8:57 PM 
		To: obm-l@mat.puc-rio.br 
		Cc: 
		Subject: [obm-l] Probabilidade do triângulo
		
		

		Olá integrantes da obm-l,

		 

		Eu me deparei com o seguinte problema e não consegui resolver! 

		 

		*         Dado um segmento de reta AB qualquer, dois pontos (C e D) são marcados ao acaso nesse segmento. Qual é a probabilidade de os três segmentos assim formados poderem constituir um triângulo?

		 

		 

		Agradeço, Carry_bit


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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