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[obm-l] Polinômios Estáveis



Olá. Vejam o seguinte teorema.
 
Um polinômio é dito estável quando suas raízes têm partes reais negativas.
Considere então um polinômio f, e a função racional R,
 
R(z) = (f(z) - (-1)^n * f(-z)) / (f(z) + (-1)^n * f(-z))
 
Nessas condições,
 
f é estável <==>
<==> os pólos de R(z):
    (i) estão no eixo imaginário
    (ii) são simples
    (iii) têm resíduos positivos
 
 
Consegui fazer a demonstração no sentido (==>), mas não consigo voltar. Alguém tem alguma idéia?
A ida:
Já está demonstrado o seguinte: f estável <==> os conjuntos de raízes do numerador e do denominador são disjuntos, Re(z) > ==> Re(R(z)) > 0 e Re(z) < 0 ==> Re(R(z)) < 0.
Então, como f é estável e R é irredutível, |f(z)| != |f(-z)| fora do eixo imaginário. Assim, f(z) +- f(-z) != 0, logo, não há pólos fora do eixo imaginário.
Agora é grande, mas basta considerar um zero z_0 do denominador e escrever a série de Laurent de R em torno de z_0, calcular arg(R(z)) e fazer z -> z_j por todas as curvas e obtemos que z_0 é pólo simples e seu resíduo é positivo. (mas é bem grande).
 
Agora a volta estou com problemas! Consigo mostrar, na volta, que os conjuntos dos zeros do numerador e do denominador são disjuntos. Se eu mostrásse as desiguandades em Re(z) < 0 e Re(z) > 0, estaria pronto, mas não vejo como! Alguma idéia?
 
Bruno
 
 


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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0