Re: [obm-l] método para resolver integral

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Olá Alan! Bom dia.
Interessante seu e-mail.  Vou só fazer comentários. 
O
assunto precisa ser discutido com bem mais rigor .

Alan Pellejero wrote:

 
Por manipulação algébrica, descobri que o integral

int (1/(ax^2+bx+c))dx = ( 2 / ( i sqr(delta))) arctan ((2ax + b)/i sqrt  (delta)) + k,

onde i é a unidade imaginária e delta = b^2 - 4ac.
 

   Não fiz as contas, talvez você pudesse mostrá-las
para nós
para a gente conferir,  mas supondo que elas estejam corretas,
essa expressão ser válida, mesmo
sendo uma integral indefinida (k é a constante de integração),
o
denominador não pode ser zero.  Nesta hipótese a
integral deve dar
um número real.
 
   Então a presença de  arctan ((2ax +
b)/i sqrt  (delta))  deve dar um
numero imaginário para cancelar o imaginário no denominador. 
Ou,
no final das contas, os números complexos subtraídos
quando se calcula
a integral acima definida em [a,b] devem ter parte imaginária
igual para
esta ser cancelada. A questão que surge então é
como calcular o
arctan de um número imaginário.
 
   Em cursos de análise complexa, considera-se a função
ln z com z complexo.
Podemos também considerar sen z, cos z, arctan z, com z complexo.
    Isso funciona definindo a função por
meio de séries de potências e a expressão
é válida dentro do raio de convergência da série.
Não é muito trivial achar
a soma de uma série desta forma.  Devem existir outros
métodos mais diretos.

    Geralmente as funções inversas tem vários ramos.  Um
exemplo:   e^( (2k +1) pi*i ) = cos ( (2k+1) pi ) + i sen ( (2k+1) pi)
                                            =  -1
  então note que ln (-1) dará uma coleção de números complexos:
 
             ln (-1) = (2k+1)  pi * i  com k \in Z

   Então temos que escolher um ramo desta função.  O mais natural seria
escolher k = 0.  Agora, na fórmula de Euler, suponha que
passamos o i sen x  para esquerda:

      e^(i x) = cos x + i sen x
      e^(i x) - i sen x = cos x
  arcos ( e^(i x) - i sen x ) = x
 
      Note primeiro que
podemos somar 2 pi no x pois e^( i (x+2pi) ) = e^(ix) ,  daí podemos
concluir que:
 
  arcos ( e^(i x) - i sen x ) = x +2 k *i *pi

  Escolhemos novamente  k = 0 e temos x real.  Neste exemplo
não conseguimos calcular
arccos de qualquer complexo com a fórmula de Euler por um motivo
simples: o argumento de arccos acima é real.
  Então temos que usar série de potências com z complexo.
 

 
Minha dúvida é a seguinte:

É natural encontrar para a primitiva um número em que apareça unidade imaginária?
É válido tal método? Pergunto pois, por verificação, constatei que a derivada daquela expressão é de fato o termo a integrar.
Por fim, gostaria de saber se tal método é válido para um curso de cálculo 1 por exemplo. Se alguém aqui leciona calculo 1 ou lecionou e encontrar em uma prova de seus alunos a resolução de algo como:

int (1/(2x^2+3x-1))dx = ( 2 / i sqrt  (17) ) arctan ((4x + 3 ) / i sqrt  (17)) + k, iria aceitar?
 

  Eu também tenho essa dúvida:  Se ele deveria
aceitar.

Se a integral for definida,
os limites de integração forem válidos, o aluno conseguir calcular a expressão:
arctan ((4x + 3 ) / i sqrt  (17))  para os dois limites de integração e o resultado
final der o número real esperado, acho que pode-se considerar o resultado
certo.
 

> Um fato que eu achei interessante é a relação
> de derivação entre o denominador da expressão a integrar
> e o numerador do domínio do arctan.
>  
  A matemática é consistente, embora não haja
prova disso a partir
da própria matemática.
 
>  
> Mais uma dúvida.
> Podemos encontrar para o mesmo integral duas expressões diferentes?
> Isso só acontece em C ou em R também? Digo isto pq encontrei
> funções cujo integral é uma expressão usando
> logaritmos, quando o corpo é R e uma expressão usando arctan,
> quando o corpo é C.
>  
   Exite uma relação bem definida e válida
entre arctan e log, mas
não me lembro dela agora.
 
> Cheguei inclusive a pensar que possa existir um elo
> entre as funções trigonométricas e as logarítimicas
> usando números complexos. Existe alguma área da matemática
> que trabalha com isso? Pensei ate na realação de Euler: 
> e^(i pi) + 1 = 0, mas não consegui concluir nada interessante.
> No mais, agradeço a atenção e peço desculpas
> pelo email longo.
> Obrigado
>  
   Dá uma olhada com atenção no livro de
Alcides Lins Neto (Análise
Complexa) da série matemática universitária do
IMPA.  Eu também
estou precisando voltar a lê-lo.

Abraços.
Ronaldo.
 

 
Alan Pellejero

1º Ano bacharelado matemática
IME/USP
 

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