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RE: RES: [obm-l] Teoria dos numeros

 
Prezados Paulo e Artur.
Paulo acredito que você não cometeu nenhum erro de cálculo.
 
Analise o que fiz.
Primeiro, pensando na decomposição de um fatorial em fatores primos, escrevi 10200 nas bases 2, 3 e 7 respectivamente:
 

10200 = (10011111011)2

10200 = (11122221)3

10200 = (41511)7


Determinano as potências de 2, 3 e 7 na decomposição de  10200! em fatores primos:
 
10200-(1+1+1+1+1+1+1+1)/(2-1) = 10192 (potência do 2);
10200-(1+1+1+2+2+2+2+1)/(3-1) = 5094 ( potência do 3);
10200-(4+1+5+1+1)/(7-1) = 1698  ( potência do 7)
 
Fazendo a decomposição dessas potências em fatores primos:
 

10192 = 24 . 72 . 13  

5094 = 2 . 32. 283

1698 = 2. 3. 283  

 

Podemos ainda escrever os valores dessas potências como:

 

10192 = 6. 6. 283 + 4  =1698 . 6 + 4

5094 = 3. 6. 283 = 1698 . 3

1698 = 6 . 283 = 1698 . 1

Logo, o valor de  é n = 1698

 

[[ ]]'s



> Subject: RES: [obm-l] Teoria dos numeros
> Date: Tue, 12 Jun 2007 13:20:44 -0300
> From: artur.steiner@mme.gov.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Obrigado Paulo
> Abraços
> Artur
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de Paulo Santa Rita
> Enviada em: terça-feira, 12 de junho de 2007 11:24
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos numeros
>
>
> Ola Carissimo Artur e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> E facil ver que 7^4 < 10200 < 7^5. Assim, basta considerar ate 7^4. De
> 7 ate 10199 temos 10199 = 7 + (A-1)*7 => A = 1457 multiplos de 7.
> Considerando os multiplos de 49 teriamos 10.192 = 49 + (B-1)*49 =>
> B=208 multiplos de 49 e com o mesmo raciocinio achamos 29 multiplos de
> 343(=7^3) e 4 multiplos de 2401 (= 7^4). Logo, o total de fatores 7 em
> 10200 ! e A + B + C + D = 1698.
>
> Como de 1 ate 10200 existem 1 numero par ( divisivel por 2 ) a cada
> dois numeros segue que ha mais que 10200 / 2 = 5100 fatores 2 e, alem
> disso, 5100 > 3*1698 = 5094. Igualmente, como de 1 ate 10200 existem 1
> numero divisivel por 3 a cada tres numeros segue que ha mais que 10200
> / 3 = 3400 fatores 3 e, alem disso, 3400 > 2*1698 = 3396
>
> Segue que N = 1698 e o numero procurado.
>
> Esta e uma solucao PARA ATROPELAR A QUESTAO, isto e, resolucao
> truculenta tipo forca bruta. Nao ha inteligencia aqui. Eu precisaria
> ficar receptivo para receber ideias bonitas mas estou sem tempo.
>
> Um Abracao
> Paulo Santa Rita
> 3,0A20,120607
>
> Em tempo : por favor, verifique se nao cometi algum erro de calculo. O
> raciocinio e correto, eu garanto
>
> Em 11/06/07, Artur Costa Steiner<artur.steiner@mme.gov.br> escreveu:
> >
> >
> > Estou tentando achar uma solucoa para o seguinte, mas ainda nao consegui:
> >
> > Encontrar o mair valor do ineiro n>=0 tal que (10200!)/(504^n) seja inteiro.
> > Nos temos que 504 = 2^3 * 3^2 * 7, assim, o quociente sera inteiro
> > enquanto 10200! contiver os primos 2, 3 e 7 com expoentes no maximo de 3n ,
> > 2n e n, respectivamente. Mas nao sei se hah uma forma facil de fazer isso.
> >
> > Obrigado
> > Artur
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
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