Re: [obm-l] Duvida - COMPLEXOS

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Esse vc pode fazer por construção.

 

Seja R o raio do disco. Então o conjunto D é:

D = {r*e^(i*theta) ; 0 <= r <= R, 0 <= theta < 2pi}

 

Escolha n elementos de D, z_1, z_2, ..., z_n, e escreva-os como

z_k = a_k * e^(i*theta_k), de forma que a_k é real (com 0 <= a_k <= R, o que é fácil de demonstrar) e theta_k é real em [0; 2pi).

Assim, o produto Z = z_1 * z_2 * ... * z_n é escrito como:

Z = a_1 * a_2 * ... * a_n * e^(i* (theta_1 + theta_2 + ... + theta_n))

Seja Theta o menor real positivo tal que Theta + 2pi * j = theta_1 + theta_2 + ... + theta_n, com j inteiro positivo. Seja também A = a_1 * a_2 * ... * a_n. Assim:

Z = A*e^(i*Theta).

(claro que 0 <= Theta < 2pi)

 

Precisamos mostrar que existe z = a*e^(theta) em D tal que z^n = Z <==> a^n * e^(i*n*theta) = A * e^(i*Theta).

 

Para qualquer escolha dos z_k, sabemos que o produto dos a_k não poderá passar jamais de R^k, já que 0 <= a_k <= R para todo k. Assim, temos que 0 <= A <= R^n.

 

Tome então a = A^(1/n), e assim 0 <= a <= R. Lembrando que 0 <= Theta < 2pi, tome theta = Theta/n (o que implica theta em [0, 2pi)), então :

z^n = (a*e^(i*theta))^n = a^n * e^(i*n*theta) = A * e^(i*Theta) = z_1 * z_2 * ... * z_n.
 

Das observação acima, z pertence ao disco D e z^n = z_1 * ... * z_n, conforme pedido.

 

Abraço

Bruno
 

2007/6/10, Joÿffffe3o Silva <d79i3mn8@yahoo.com.br>:

(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D, existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn).

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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0