Re: [obm-l] "função potencial" de x

[Claudio Gustavo <claudioggll@xxxxxxxxxxxx>]

  Desculpe, pois não fui claro na minha solução. Na verdade não é a função f(x) que é decrescente, mas sim a função representada por n^(1/n) que é decrescente para o n maior que 3 (vai tender para 1).

  Quanto a como eu cheguei nesse n^(1/n), foi considerando o caso geral, para imagens naturais, com f(x)=n. Se vc aplicar logarítmo e isolar o x encontrará exatamente isso.

  Daí eu concluí que, como a função f(x) é crescente (acho que isso já é o suficiente para vermos que ele é injetiva, pois será monótona), para uma abscissa maior obtemos uma imagem maior. Logo a maior imagem possível (considerando apenas entre as imagens naturais) é para a abscissa 3^(1/3), que obtemos imagem 3. Logo essa função nunca atingirá a imagem 4.

  Acho que agora fui mais claro nas explicitações.

 

  Abraço,

Claudio Gustavo.

Marcelo Salhab Brogliato <msbrogli@gmail.com> escreveu:

Ola Claudio,
acredito que sua solucao esteja errada.. veja:

f_n(x) = x^x^x^...^x [n vezes]

para x > 1...
x^x > x ... f_2(x) > f_1(x)
x^(x^x) > x^x ... f_3(x) > f_2(x)
:
f_{n+1}(x) > f_n{x}
assim, a funcao é crescente com n para x>1
ela tbem é ilimitada.. deste modo, f_n(x) diverge para x > 1..
portanto, lim n->inf f_n(x) nao existe para x > 1...

para x = 1, f_n(x) = 1, para todo n

para 0 < x < 1, f_{n+1}(x) < f_n(x) ... e f_n(x) > 0.. a funcao é
decrescente e limitada.. logo converge.. entao, lim n->inf f_n(x)
existe...
como f_1(x) = x < 1, a funcao nao tem como imagem nenhum valor maior que 1...

na sua solucao, nao entendi como vc concluiu que a funcao eh
decrescente para x>3 .. pois: 4 > 3 ... 4^4 > 3^3 ... 4^(4^4) >
3^(3^3).. e assim por diante...

nao consegui ver como vc mostrou que a^(1/a) é solucao de lim n->inf
f_n(x) = a..
intuitivamente parece correto, porem, qdo as coisas tendem para o
infinito elas nao se comportam exatamente como no caso finito.. [temos
as series para mostrar isso.. um caso tipico que foge do intuitivo é a
serie telescopica com lim a_n diferente de 0]

tambem nao achei trivial mostrar que lim n->inf f_n(x) é injetiva...

abracos,
Salhab


On 5/26/07, Claudio Gustavo wrote:
> Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas fiz...)
> de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado a x ...).
> Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não pode ter como
> imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x = 2^(1/2), mas daí
> concluímos que 2 = 4!!!
> Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se existem outras
> considerações e se o que pensei está correto.
> Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva (fazendo f(a)=f(b),
> então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) maior que f(x)), para o intervalo de
> x positivo e maior que 1, que é o caso, logo é monótona crescente para o
> intervalo considerado. Considerando apenas as imagens naturais, ou seja,
> f(x)=n, encontramos como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função
> é crescente até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite 1
> (logo obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a função f(x) no
> dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa maior teremos uma
> imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para valores naturais, é
> para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a função nunca atingirá
> a imagem igual a 4.
>
> __________________________________________________
> Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
> http://br.messenger.yahoo.com/

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

__________________________________________________
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/