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Oi
Veja se da pra entender desse jeito que eu
pensei.
1)Se a maior potencia de 5 que divide n! é 5^84 então n!
deve ter o fator 5 multiplicado 84 vezes.
Veja que 5! tem apenas 1 vez o fator 5 porque nenhum
numero menor que 5 é divisivel por 5.
10! tem 2 vezes o fator 5, 15! tem 3 vezes. Vamos tentar
então um numero que temos certeza que possui pelo menos 84 vezes o fator
5.
Fazendo 84*5 = 420. Assim 420! tem pelo menos 84 vezeso
fator 5. Mas algumas vezes esse fator aparece mais de uma vez no mesmo numero,
por exemplo, 25= 5*5. Então em 420! há alguns cincos a mais do que
queremos. Veja que 5^3 = 125 e 5^4 = 625. Então a maior potencia de 5 que é
menor que 420 é 5^3. Assim devemos ter no máximo o fator 5 repetido 3 vezes num
numero. Vamos tentar estimar qual seria o numero n desejado: n/5 + n/25 + n/125
= 84 (porque n/5 encontra quantos multiplos de 5 há entre 1 e n, n/25 encontra
quantos multiplos de 5*5 há entre 1 e n e n/125 encontra quantos multiplos de
5*5*5 há entre 1 e n). Resolvendo temos n = 10500/31 = 338,70. Aproximando para
o inteiro multiplo de 5 mais próximo temos n=340. Vamos ver quantos cincos há em
340!: Multiplos de 5: 340/5=68. Multiplos de 25: 65/5 = 13. Multiplos de 25:
10/5 = 2. Então há 68+13+2 = 83 vezes que o fator 5 é repetido. Logo falta
apenas uma vez. Encontrando o próximo n que é multiplo de 5 temos n=345. Assim
os outros numeros que tem essa propriedade são: 345, 346, 347, 348
,349.
2)Seguindo o mesmo raciocionio:
3! tem uma vez o fator 3.
6! tem 2 vezes.
9! tem 4 vezes
12! tem 5 vezes
15! tem 6 vezes
18! tem 8 vezes.
Portanto não existe n inteiro tal que 3^7 seja a maior
potencia de 3 que divide n!.
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