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Re:[obm-l] Isometria

To: "obm-l" <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re:[obm-l] Isometria
From: "claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>
Date: Mon, 14 May 2007 23:24:04 -0300
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria

> > Claudio, imagine no R^2,  T(0,0)=(0,1/2)= a  e  b_n = (1 - 1/(2n),0) dai
> temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
> segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
> 
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence a B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a (0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede raiz(3).
Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 > raiz(3).
Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.

[]s,
Claudio.

> Abs.
> 
> 
>   Rivaldo.
> 
> Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
> > precisa ter um limite.
> > Basta que o limite de |b_n| seja 1.
> > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
> > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
> > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2.
> > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 > raiz(1
> > - |a|^2).
> > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2).
> > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
> > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior
> > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
> > inferior a a.
> >
> > De qualquer forma, T eh isometria ==>
> > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==>
> > T eh uniformemente continua ==>
> > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja
> > uniformemente continua em fecho(B).
> > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
> > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Cópia:
> > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >
> >> >
> >>
> >> Ola Claudio.
> >>  Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
> >>  B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
> >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
> >> ainda esta em B.
> >>
> >>    Abs.
> >>
> >>  Rivaldo.
> >>
> >>
> >> Tem razao. Mancada minha...
> >> >
> >> > O problema eh provar que:
> >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
> >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
> >> >
> >> > Aqui vai uma nova tentativa:
> >> >
> >> > Seja T(0) = a.
> >> > Seja b um ponto qualquer de B.
> >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
> >> > Eh claro que b tambem pertence a B.
> >> > Entao:
> >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
> >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b|   (**)
> >> > Alem disso,
> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
> >> > igualdade na desigualdade triangular,
> >> > que associada a (*) e (**) implica que:
> >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
> >> >
> >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
> >> > Nesse caso:
> >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
> >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido
> >> em B.
> >> >
> >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
> >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
> >> comprimento
> >> > 2 eh a origem.
> >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah
> >> ser o
> >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
> >> > Conclusao: a = 0.
> >> >
> >> > Acho que agora foi...
> >> >
> >> > []s,
> >> > Claudio.
> >> >
> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >> >
> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> > Cópia:
> >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
> >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> >> >
> >> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >> >> >
> >> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> >> > Cópia:
> >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
> >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria
> >> >> >
> >> >> >> >Ola Claudio.
> >> >>     Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
> >> precisariamos
> >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
> >> >> -b
> >> >> nao colineares nao garante esse fato.
> >> >>
> >> >>    Abs.
> >> >> >>
> >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria.
> >> >> >>    Provar que T(0)=0.
> >> >> >>
> >> >> >
> >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
> >> >> relacao
> >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
> >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
> >> >> >
> >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
> >> >> estrita:
> >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
> >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
> >> >> > 2|b| =
> >> >> > |2b| =
> >> >> > |b - (-b)| =
> >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
> >> >> >
> >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
> >> >> >
> >> >> > []s,
> >> >> > Claudio.
> >> >> >
> >> >> >
> >> >> > =========================================================================
> >> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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