Solicito, por gentileza, correção da resolução (ou tentativa de resolução) da questão que segue.
PROBLEMA 6
Em um torneio de tênis de mesa (no qual nenhum jogo termina empatado), cada um dos n participantes jogou uma única vez contra cada um dos outros. Sabe-se que, para todo k > 2, não existem k jogadores J1, J2, ?, Jk tais que J1 ganhou de J2, J2 ganhou de J3, J3 ganhou de J4, ?, Jk ? 1 ganhou de Jk, Jk ganhou de J1. Prove que existe um jogador que ganhou de todos os outros e existe um jogador que perdeu de todos os outros.
As hipóteses:
1) Não há empate.
2) Cada jogador joga uma e só uma vez com cada um dos outros.
3) Sabe-se que, para todo k > 2, não existem k jogadores J1, J2, ?, Jk tais que J1 ganhou de J2, J2 ganhou de J3, J3 ganhou de J4, ?, Jk ? 1 ganhou de Jk, Jk ganhou de J1.
A tese: Existe um jogador que ganhou de todos e um que perdeu de todos.
Bem, com três jogadores: J1, J2, J3. É sabido que a única hipótese que não existe é: J1>J2, J2>J3 e J3> J1. Logo, só pode existir, sem perda de generalidade: J1>J2, J2>J3 e J3< J1, ou seja, J1>J2>J3. Cabe explicar que o símbolo ?>? utilizado significa, por exemplo: ?Jogador 1 ganhou do Jogador 2?.
Com quatro jogadores, não temos: J1>J2, J2>J3, J3> J4 e J4>J1. Assim, podemos trocar um ou dois desses sinais de > para <. Então, temos: (>, >, >, <) ou (>, >, <, <). Assim, no primeiro caso, J4 será o que perdeu de todos; no segundo, será J3; e em ambos, J1 ganhou de todos.
Com n jogadores: É sabido que não temos: (>,>,>, ... , >). Entre esses parêntesis, há n ?>?. Com n par, podemos trocar ?>? para ?<? k vezes, k de n a n/2, se n é par (ordem decrescente). Assim, em todos esses casos J1 será o que ganhou de todos e Jk será o que perdeu de todos. Se n é ímpar, k varia (ordem decrescente também) de n até o primeiro inteiro maior que n/2.
ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝInstruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ